Passaggio all’astrazione

n matematica presentiamo prima ciò che dà una visione completa dell’intero. Quando si coglie prima l’idea complessiva e poi si comincia a indagare i dettagli, questi diventano semplici, unici e infiniti di numero. È come esaminare il corpo umano. La visione dell’intero corpo umano è molto semplice. La nostra immaginazione coglie le funzioni del corpo e poi studia i dettagli. Studiando l’anatomia impariamo che il corpo è composto da due paia di arti, le gambe e le braccia, un tronco e una testa. Poi iniziamo a studiare i vari organi del corpo, cosa c’è dentro la testa e così via. Possiamo ulteriormente studiare le cellule. I dettagli appaiono e le impressioni crescono, e ognuno di essi è estremamente importante e interessante. Così è nel campo della matematica.

Una delle funzioni del sistema decimale è stata quella di mostrare le diverse gerarchie. Abbiamo iniziato con le unità semplici da 1 a 9. Dieci unità fanno una decina, 10 decine unite fanno un centinaio. Dieci centinaia unite fanno mille. Tutto è partito da quella piccola perlina che era l’unità. Ora sappiamo che esistono quattro gerarchie diverse: unità, decine, centinaia e migliaia. Potremmo dire che la cosa finisce qui, ma si apre subito un altro campo. Come abbiamo avuto le gerarchie del sistema decimale, abbiamo anche le gerarchie del sistema a sei, o del sistema a quattro. In realtà possiamo avere tanti sistemi quanti sono i numeri e in ogni numero c’è lo stesso grado di gruppi. Il più semplice è la barra singola. Esiste anche un altro quadrato che ha tante barre quante sono le perline che lo compongono. Per esempio, nella barra di 2 ci sono due perline. Questa è la prima gerarchia. La seconda gerarchia ha tante barre quante perline ci sono nella barra, due barre da 2 che formano un quadrato. La seconda gerarchia si chiama quindi quadrato del numero che si forma. Tutti i sistemi hanno le stesse gerarchie: il 2 quadrato, il 4 quadrato, il 6 quadrato fino al 10 quadrato. Questi si ottengono moltiplicando il numero per sé stesso: 10 barre di dieci, 3 barre di tre e 100 barre di cento. Questo nuovo gruppo di gerarchie ha un livello più alto rispetto ai gruppi semplici. Non c’è limite ai livelli delle gerarchie.

Ora abbiamo materiale per aiutare il bambino a immaginare i livelli illimitati e crescenti delle gerarchie, un aspetto unico del sistema decimale. Il cubetto che rappresenta l’unità è di colore verde. Dieci di questi cubetti formano il dieci, rappresentato da un’unica barra di legno dipinta di blu (il colore simbolico delle decine) e divisa da dieci linee verdi che fanno le unità. Il colore simbolico dell’unità è il verde, da cui le linee verdi che segnano ogni unità nella barra del dieci. Il colore della tavola quadrata delle centinaia è rosso, perché il colore simbolico delle centinaia è il rosso. Ci sono dieci linee blu che la attraversano, perché è formata da dieci decine. Questo è il grado più alto del primo livello.

Quando le centinaia sono dieci abbiamo un nuovo livello. Il migliaio è l’unità di questo nuovo livello che ha tre gerarchie: il cubo da mille, la barra da diecimila e la tavola quadrata da centomila. Ancora una volta, quando arriviamo al milione⁸⁵, abbiamo una gerarchia di livello superiore, e le stesse tre gerarchie: il cubo da un milione, la barra da dieci milioni e la tavola quadrata da cento milioni. Ogni unità funge da capofamiglia e dà il proprio nome a tutte le gerarchie del proprio livello, l’unità, il migliaio e il milione. Ci possono essere solo tre gradi in ogni livello. Ogni volta che si crea una nuova gerarchia il livello si alza. L’enorme cubo di un milione è costruito in proporzione alla piccola unità, così che l’unità è una milionesima parte dell’unità di milioni rappresentata dall’enorme cubo di legno. Così vediamo un fatto strano: ogni tre posti, le forme si ripetono. Queste sono chiamate potenze matematiche: il quadrato, il cubo, la quarta potenza, la quinta potenza e così via.

Quando studiamo la matematica ci viene detto che dopo la terza potenza non possiamo materializzare nulla. Dopo la terza potenza si arriva alla quarta, ma le dimensioni sono solo tre. Un prisma ha solo tre lati, se lo aumentiamo non c’è una quarta dimensione, quindi la materializzazione è impossibile. Questo sembra logico, ma non è vero. Per esempio, possiamo prendere il quadrato di dieci moltiplicato per il quadrato di dieci, che è uguale a 10 alla potenza di 4. Questo non significa che 10 alla potenza di 4 non possa essere materializzato. Non andiamo nella quarta dimensione. Tuttavia, per ogni quarta potenza, possiamo ottenere un prisma più lungo! Allo stesso modo, per ogni quinta potenza possiamo materializzare un quadrato e per ogni sesta potenza un cubo! Per ogni tre, la forma si ripete: la terza, la nona e la dodicesima. Ogni volta si ripetono le stesse potenze. Se vogliamo la quarta potenza di un cubo di 2 centimetri abbiamo 2 × 2 × 2 (cioè il cubo di 2), che moltiplicato per 2 dà 2 alla potenza di 4. Per avere la quarta potenza prendiamo due cubi di 2 centimetri e li mettiamo uno accanto all’altro per fare un prisma lungo fatto da entrambi i cubi. Questa è la forma della quarta potenza. Se vogliamo la quinta potenza possiamo prendere altri due cubi da due e metterli accanto al prisma lungo per ottenere un quadrato. Pertanto, per la sesta potenza di due otterremo un nuovo cubo. Otteniamo sempre la stessa cosa: una barra lunga, un quadrato e poi un cubo. Possiamo quindi individuare tutte le potenze e rappresentarle.

I matematici se ne devono essere accorti da tempo, perché ci hanno sempre insegnato a iniziare a contare da destra. Trasmesso a memoria di generazione in generazione, il motivo è andato perso. Tuttavia, il metodo di segnare per tre resta: 9.785. Dopo tutto diciamo novemila settecento ottantacinque e non novantasettecento ottantacinque⁸⁶.

Per rendere la matematica davvero interessante per il bambino dobbiamo aiutarlo a trovare un richiamo sensoriale in essa. Ecco perché questi materiali sono introdotti al bambino nell’età sensoriale. Non gli spieghiamo nulla, ci limitiamo a dare le unità semplici, poi la barra del dieci, poi il quadrato del cento e il cubo del mille. Quando presentiamo al bambino la Tavola dei Numeri⁸⁷ gli diciamo che ogni riga rappresenta le diverse gerarchie. Nella prima fila ci sono dieci perline verdi, unità semplici. Ciascuna delle perline della fila successiva rappresenta una decina. Nella fila successiva ci sono perline rosse, ognuna delle quali rappresenta un quadrato del cento. Ciascuna delle perline verdi della fila successiva rappresenta un’unità di mille. Per aiutare il bambino a familiarizzare con l’uso della Tavola dei Numeri mettiamo ancora una volta in gioco il sistema decimale. Ci sono operazioni che il bambino può svolgere con questo materiale anche prima che gli venga proposto il Gioco del Serpente, anche prima che abbia imparato a memoria le combinazioni e anche prima che comprenda appieno il funzionamento del sistema decimale. Prima abbiamo proposto al bambino dei francobolli come simboli. Qui proponiamo un altro tipo di simbolo: una tabella su cui sono segnate delle linee verticali di tre colori diversi che rappresentano ripetitivamente le tre diverse gerarchie. Ogni tre righe c’è la stessa unità di un livello diverso, e quindi dello stesso colore.

Nel primo gioco con la Tavola dei Numeri chiediamo al bambino di contare le perline di ogni fila, annotandole ogni volta sulla prima riga verde della tabella. Quando sono state contate dieci perline nella gerarchia più bassa, l’unità della gerarchia successiva di 10 deve essere scritta sulla riga blu della tabella. Quando si arriva a 90, questa gerarchia è terminata. L’unità della gerarchia successiva di 100 deve essere annotata fino a 900 sulla linea rossa e le migliaia sulla linea verde per le unità di mille, spostandosi così di riga in riga, e fila in fila, fino a raggiungere il milione. Questo è il primo esercizio. Si svolge partendo dal lato destro.

Poi diamo al bambino la Tavola dei Numeri e scriviamo i numeri per l’addizione sulla tabella: le unità devono cadere sulla linea verde, le decine sulla linea blu, le centinaia sulla linea rossa e le migliaia sulla linea verde successiva per il gruppo successivo (migliaia). Per fare l’addizione si parte dalla prima fila di perline verdi e si contano le unità. Se abbiamo prima 5 e poi 8, dopo aver contato le prime dieci le perline saranno finite, quindi aggiungiamo una nuova decina nella seconda riga lasciando 3 unità nella prima fila. Poi contiamo le perline blu, le decine. Poi passiamo alle perline rosse e così via fino a completare tutte le righe. Al termine, non resta che controllare quante perline ci sono in ogni riga della Tavola dei Numeri per trovare il risultato dell’addizione.

Anche la sottrazione può essere eseguita anche con l’aiuto di questo strumento. Per sottrarre dobbiamo partire dal lato destro, dalle unità. Contiamo le perline di ogni gerarchia nel numero più lungo. La nostra sottrazione è: 9.234 - 6.987.

Per togliere 6.987 da 9.234, dobbiamo togliere 7 da 4. Possiamo togliere solo 4, perché ci sono solo 4 perline nella fila delle unità. Passiamo quindi alla fila delle decine e cambiamo una decina con dieci unità. Ora possiamo togliere le 3 unità rimanenti. Poi, nella fila delle decine, abbiamo solo 2 decine ma dobbiamo togliere 8 decine, quindi dopo aver tolto 2 decine cambiamo una delle centinaia in 10 decine e togliamo le 6 rimanenti. Continuiamo così a cambiare e togliere fino a raggiungere il risultato contando il saldo delle perline rimaste in ogni fila. Ci sono 7 unità, 4 decine, 2 centinaia e 2 migliaia, quindi la risposta è 2.247.

Sottrarre 1 da 1.000 sembra molto semplice, ma quando lo facciamo sulla Tavola dei Numeri è molto complesso. Abbiamo una sola perlina nella riga delle migliaia e non abbiamo nulla da cui togliere 1 dalle unità. Dobbiamo quindi partire dall’ultima riga del migliaio e risalire, cambiando ogni volta una unità del livello superiore in dieci unità del livello inferiore. Quando arriviamo a dieci unità, possiamo sottrarre 1 da esse. Il risultato si ottiene contando le perline di ogni fila. Il risultato è 9 in ogni fila e quindi si ottiene il risultato 999.

Nella sottrazione e nell’addizione aiutiamo il bambino ad acquisire un’immagine sensoriale delle combinazioni, che in seguito saranno rese consapevoli grazie al Tavoliere. Le tabelle per l’addizione e la sottrazione consolidano le conoscenze acquisite dal bambino attraverso il Tavoliere. Il processo è lo stesso per la moltiplicazione. Nel secondo esercizio con il Gioco del Serpente dell’addizione⁸⁸ chiediamo al bambino, invece di fare gruppi di dieci, di contare tutti i nove, tutti i cinque, tutti gli otto e così via. Se ci sono 5 barre di nove, mette 4 decine e cinque per rappresentarle. Questa seconda fase offre quindi al bambino un’impressione sensoriale delle combinazioni della moltiplicazione.

Per aiutare il bambino a prendere coscienza della moltiplicazione, utilizziamo il Tavoliere delle moltiplicazioni, una tavola quadrata con cento cavità. Le cavità sono disposte su dieci file da dieci ciascuna. Le cavità sono destinate a contenere le perline che vi sono inserite mentre si conta. Con questa tavola abbiamo una scatola di cento perline sfuse di qualsiasi colore⁸⁹. Sopra le dieci file della tavola sono scritti i numeri da 1 a 10. Nell’angolo in alto a sinistra c’è una grande cavità rotonda che contiene un pezzo circolare⁹⁰ rosso. Sul lato sinistro della tavola c’è una grande cavità quadrata con una fessura. Ci sono carte numeriche da 1 a 10 che possono essere inserite nel quadrato attraverso la fessura – il moltiplicando. Insieme a questo materiale abbiamo una serie di tabelle (simili a quelle che avevamo con la tabella delle combinazioni dell’addizione) in cui sono scritti 2, 3, 4, 5, 6, moltiplicati per 1 e così via fino a 10, con uno spazio in corrispondenza di ogni combinazione per il risultato da riempire. Il numero che viene ripetuto è il moltiplicando. Viene inserito nel posto quadrato del tabellone. Il moltiplicatore è contrassegnato dal pezzo rosso che viene posizionato sopra ogni numero man mano che si procede con la moltiplicazione. Quando il bambino moltiplica 6 con 4, posiziona il pezzo rosso sopra la quarta riga, dove è scritto 4. In questo modo il moltiplicatore è contrassegnato in modo tale che il bambino non deve dimenticare in quale fila deve fermarsi. Il bambino inizia a contare sei perline alla volta, posizionandole in ogni fila fino a 10, spostando ogni volta il pezzo rosso come richiesto. Ogni bambino, se gli vengono date dieci tabelle con le combinazioni di moltiplicazione, può riempire la tabella con il risultato delle operazioni che ha fatto sul tavoliere. Abbiamo anche delle tabelle di confronto in modo che il bambino possa verificare i risultati che ha ottenuto. I risultati di tutte le combinazioni sono riportati nella tabella.

Poiché la moltiplicazione non è altro che un tipo speciale di addizione, scopriamo che anche nella moltiplicazione ci sono alcune combinazioni che si ripetono e che quindi possono essere eliminate: 4 per 6 e 6 per 4 danno lo stesso risultato. Quando il bambino ha acquisito familiarità con il Tavoliere delle Moltiplicazioni e con il suo utilizzo, possiamo anche usare le barre di perline per mostrare che, sebbene i risultati siano gli stessi, le operazioni fatte moltiplicando 2 per 9 e 9 per 2 sono diverse. In entrambi i casi il risultato è 18, ma nel primo caso abbiamo solo 2 barrette da 9 perline e nel secondo 9 barrette da 2 perline.

Tuttavia, per quanto riguarda la memorizzazione delle combinazioni, è necessario rendersi conto che moltiplicare 2 con 9 è la stessa cosa che moltiplicare 9 con 2. Quindi solo la metà delle combinazioni deve essere necessariamente mostrata, mentre l’altra metà è costituita da ripetizioni. Nella tabella dell’addizione tutte le combinazioni che si ripetono dall’altra parte del doppio di un numero sono omesse. Nella tabella della moltiplicazione si omettono tutte le ripetizioni che si trovano oltre il quadrato di un numero. I quadrati dei numeri formano una diagonale nella tabella. Le tabelle delle moltiplicazioni si usano allo stesso modo delle tabelle delle addizioni. La prima contiene tutte le combinazioni. Ce n’è una seconda in cui tutti i numeri che si ripetono vengono eliminati. La metà che viene omessa è del tutto inutile per la memorizzazione della combinazione. Utilizzando la terza tabella delle moltiplicazioni⁹¹ il bambino dimostra di aver capito il Tavoliere delle Moltiplicazioni. Lungo i lati si trovano le combinazioni che indicano i numeri da moltiplicare. C’è un cesto con le carte dei risultati. Prendendo dal cesto, uno per uno, i cartoncini su cui sono scritti i risultati di tutte le combinazioni presenti nella tabella, il bambino trova la combinazione a cui si applica il risultato.

Il Tavoliere delle Divisioni è simile a quello delle moltiplicazioni, ma con qualche differenza. Sul Tavoliere della Divisione i numeri da 1 a 81 sono scritti in verde all’interno delle cavità⁹². Esistono tre tavole di questo tipo, una per le unità con una striscia verde, una per le decine con una striscia blu e una per le centinaia con una striscia rossa. I numeri da 1 a 9 sono scritti in orizzontale e in verticale. Ci sono anche dei birilli che rappresentano le unità, le decine e le centinaia. I birilli delle unità sono verdi e occupano le cavità della tavola con la striscia verde. I birilli blu delle decine occuperanno le cavità della tavola con la striscia blu e i birilli rossi delle centinaia occuperanno le cavità della tavola con la striscia rossa, a seconda del numero che rappresentano. Se, ad esempio, vogliamo dividere un numero per 215, dobbiamo utilizzare tutte e tre le tavole: i 2 birilli rossi saranno collocati nelle due cavità della striscia rossa, il birillo blu nella prima cavità della striscia blu e i 5 birilli verdi nelle cinque cavità della striscia verde, sulle rispettive tavole.

Quando il bambino ha imparato le combinazioni di moltiplicazioni, ha acquisito anche la conoscenza inconscia delle combinazioni di divisioni. Infatti, quando il bambino moltiplica 3 per 2 e scopre che il risultato è 6, vede anche inconsciamente che 6 diviso per 2 fa 3, o che 6 diviso per 3 fa 2. Il bambino conosce già la divisione, ora è solo necessario proporgli il meccanismo. Se, ad esempio, chiediamo al bambino di darci un numero che diviso per 2 dia un risultato inferiore a 9, il bambino dovrà elaborare tutte le combinazioni che, divise, non lasciano resto. Queste sono limitate. I numeri che si trovano sulla tavola delle moltiplicazioni sono le uniche che non lasciano resto.

Nella tabella delle moltiplicazioni, per 81 era possibile una sola combinazione, 9 moltiplicato per 9. Nella tabella delle divisioni, per 81 abbiamo una sola combinazione: 81 diviso 9. Per 72 esistono due combinazioni: 72 diviso 8 e 72 diviso 9. Vediamo quindi una certa corrispondenza nelle combinazioni. I numeri primi sulla tabella devono essere tutti di un colore. Anche tutti i fattori dei diversi numeri primi sono presenti sulla tabella. Il bambino vede anche che ogni numero compreso tra 49 e 56 è divisibile per 7, lasciando in ciascun caso un resto diverso. Utilizzando questo materiale il bambino impara la natura e la funzione della divisione.

Questo è il passaggio all’astrazione, il passaggio dal materiale alla carta, nello svolgimento delle operazioni. Dopo un po’ di tempo il bambino abbandonerà il materiale e risolverà i problemi direttamente sulla carta. Di solito, nelle scuole tradizionali si commette un grande errore: non si crea un collegamento tra il materiale e l’astrazione, offrendo al bambino solo uno dei due. Questo può diventare un ulteriore peso per la mente del bambino in seguito. Dobbiamo prima presentare l’idea completa attraverso i materiali e aiutare il bambino a muoversi liberamente verso le astrazioni.