Geometria attraverso l’attività

e figure geometriche realizzano idee astratte che si formano nella mente umana. Esse hanno relazioni fisse tra loro, ma non hanno rapporto in termini di dimensioni o di spazio occupato. Quando osserviamo queste figure quello che facciamo è un lavoro mentale sulla forma di queste figure, non sulle dimensioni delle loro forme. Se riusciamo a vedere certe relazioni fisse tra le forme indipendentemente dalle loro dimensioni, allora abbiamo preso le forme in modo astratto, separandole dalla quantità.

Nell’apparato sensoriale isoliamo solo una delle qualità della materia. Nelle figure geometriche isoliamo la forma. Abbiamo qui un quadrato inscritto in un cerchio. Il quadrato è formato da quattro triangoli uniti tra loro. Due lati di ciascuno di questi quattro triangoli partono dal centro del quadrato e ognuno è uguale al raggio del cerchio.

Un pentagono inscritto in un cerchio è formato da cinque triangoli, ognuno dei quali ha due lati pari al raggio del cerchio. Un esagono inscritto in un cerchio è formato da sei triangoli. È diverso dalle altre figure perché tutti e tre i lati di ogni triangolo sono uguali al raggio del cerchio. Anche in un ottagono a otto lati, composto da otto triangoli, due lati di ogni triangolo sono uguali al raggio del cerchio. Nel caso del quadrato e del pentagono, in ogni triangolo il lato che forma la curva del cerchio è più lungo del raggio del cerchio. L’esagono può essere collocato al centro, perché contiene sei triangoli equilateri. Nell’esagono il lato del triangolo che forma una curva con il cerchio è uguale al raggio del cerchio. Nei poligoni successivi all’esagono il lato che forma la curva del cerchio diventa via via più piccolo del raggio del cerchio.

All’aumentare del numero di lati del poligono, la lunghezza del lato del poligono diminuisce e il poligono occupa una parte maggiore della superficie del cerchio. Possiamo pensare a un poligono con venti, quaranta o addirittura cento lati! Forse i nostri occhi e le nostre mani non sarebbero in grado di tracciare correttamente le linee di una simile figura. Anche se si riuscisse a farlo, non sarebbe un cerchio, ma solo un poligono di cento lati! Potremmo fare un cerchio molto grande e inscrivervi un poligono di mille lati, e ciononostante troveremmo sempre spazio tra il lato del poligono e la circonferenza del cerchio. Anche un poligono di centomila lati sarebbe diverso dal cerchio. Usando la nostra immaginazione, possiamo vedere che aumentando il numero dei suoi lati, un poligono tende ad assomigliare sempre di più al cerchio senza mai raggiungerlo, quindi senza mai superarne il limite. Con l’autorità che ha, il cerchio dice al poligono: “Sei libero di crescere, ma entro un limite. Non potrai mai diventare più grande di me. Sarai sempre contenuto in me!” Questo limite può sembrare infinito, ma è un limite molto preciso, molto esatto. Anche quando abbiamo un poligono con centomila lati, siamo in grado di distinguerli liberamente, perché la forma è indipendente dalla dimensione. Indipendentemente dal numero di lati, un poligono sarà sempre contenuto nel cerchio; avrà sempre un numero di lati inferiore a quello del cerchio.

Questo ci porta a un’idea filosofica. Il poligono può crescere fino a fondersi con l’infinito: il cerchio. Questo infinito ha un limite, il cerchio è limitato, un limite che il poligono non potrà mai raggiungere o superare! Queste forme, quindi, sono per la mente astratta gli strumenti con cui può organizzarsi. Quando la mente astratta si organizza, lo fa secondo i propri mezzi. Non tutte le menti arrivano allo stesso punto, alcune crescono e capiscono di più, altre di meno. Questo dipende dalla capacità dell’individuo. Tuttavia, tutti sono aiutati dal mondo esterno a sviluppare il proprio mondo astratto. Tra gli infiniti poligoni che si possono inscrivere in un cerchio ce n’è uno, uno solo, il cui lato è uguale al raggio del cerchio: l’esagono. Ciascuno dei triangoli che compongono l’esagono è un triangolo equilatero. Di tutti questi infiniti triangoli, solo uno si distingue dagli altri e può essere rappresentato come un centro, non un centro in termini di quantità, ma di forma. Oltre l’esagono di sei lati, ci sono un numero qualsiasi di poligoni, mentre prima dell’esagono ce ne sono solo tre. Quindi la chiamiamo forma centrale, perché prima dell’esagono i lati delle figure sono maggiori del raggio del cerchio, dopo di esso i lati sono minori.

Il triangolo che compone l’esagono, il triangolo equilatero, ha la facoltà di costruire le forme più armoniose. Se si divide un triangolo equilatero in due triangoli rettangoli e li si unisce con le ipotenuse che si toccano, si ottiene un rettangolo. Questo rettangolo, che nasce dal centro della forma, dal centro della proporzione, è considerato la forma più bella, più armoniosa, che rappresenta un centro di assoluta bellezza. Se tagliamo un rombo lungo la diagonale corta otteniamo due triangoli equilateri. Quindi il rombo perfetto è formato da due triangoli equilateri, il triangolo equilatero centra sempre nella perfezione. Se mettiamo altri due triangoli equilateri ai due lati di un triangolo del rombo, otteniamo un triangolo equilatero.

Tutte queste combinazioni ci mostrano che, mettendole insieme o scomponendole, possiamo comporre delle figure. Non si tratta di uno studio di geometria, ma della semplice osservazione delle forme. Il lunghissimo esercizio con cui combiniamo e scomponiamo certe figure è un lavoro mentale. Il movimento del bambino e i suoi sensi attivi costituiscono la base di questo lavoro mentale. Combinando questi oggetti, facendo questo lavoro, il bambino organizza la propria mente. Allo stesso tempo l’attività è anche un esercizio per la mano, perché può maneggiare gli oggetti e spostarli. Man mano che il bambino combina le figure attraverso il rapporto di grandezza, impara i rapporti proporzionali che queste figure hanno tra loro.

Invece di dare ai bambini dei giocattoli, diamo loro questi oggetti da maneggiare. La forma di questi oggetti si radica nella mente del bambino, il che è necessario per lo studio della geometria negli anni successivi. Gli oggetti incarnano la forma e le relazioni di forma nella mente del bambino.

Noi iniziamo a dare questi oggetti ai bambini dai tre anni in su. Per prima cosa presentiamo le tre figure di base – il cerchio, il quadrato e il triangolo equilatero – sotto forma di solidi inserti di legno¹⁸. Poi presentiamo le figure in una serie graduata, per esempio i cerchi in una serie di dimensioni. La forma è sempre la stessa, essendo tutti cerchi, solo i diametri variano.

Gli oggetti permettono di controllare gli errori perché ogni inserto si adatta esattamente alla cornice. Se facciamo un errore e mettiamo un cerchio più piccolo nella cornice più grande, alla fine dell’attività ci ritroveremo con una cornice piccola e un cerchio grande che non entra. L’attività porta il bambino a ragionare. Ogni volta che si esegue questo esercizio si fa toccare al bambino il perimetro dell’inserto e quello della cornice. L’inserto viene toccato mentre è tenuto in mano, mentre la cornice viene toccata mentre è sul tavolo. Dopo un po’ di tempo il bambino riesce a stabilire che l’inserto corrisponde alla cornice semplicemente attraverso il movimento della mano sull’inserto. Se l’inserto è più grande della cornice il bambino lo riconosce subito dalla sensazione. Con la pratica, il bambino può riconoscere la cornice e l’inserto geometrico corrispondente anche a occhi chiusi, semplicemente muovendo la mano su di essi.

Questo lavoro fissa l’attenzione del bambino sulle piccole differenze di forma e dimensione geometrica. Presentiamo anche una gradazione, ognuna relativa al quadrato, ma invece di quadrati graduati da grandi a piccoli presentiamo un quadrato seguito da una serie di rettangoli che sono graduati in modo esatto. Il lato del quadrato è di dieci centimetri. Nel secondo, uno dei lati rimane di dieci centimetri, ma l’altro è di nove centimetri. È molto difficile distinguere il secondo inserto dal primo perché la differenza è minima, solo un centimetro. L’inserto successivo misura dieci centimetri su un lato, mentre il lato più corto è di otto centimetri. La serie continua fino all’ultimo inserto che è uguale alla metà del quadrato, un rettangolo che misura dieci centimetri per cinque. Possono verificarsi degli errori. Se il bambino mette il secondo inserto nella cornice del quadrato, alla fine rimarrà un inserto quadrato che non trova posto. Molte volte si vede il bambino che cerca di far entrare l’inserto quadrato in una cornice piccola con la forza. Il materiale è un insegnante severo. Un adulto potrebbe dire: “Povero bambino! È più o meno corretto. Non importa. Dopo tutto la differenza è solo di un centimetro!” Tuttavia, il materiale costringe il bambino all’esattezza, poiché consente solo l’inserimento corretto.

Presentiamo al bambino una serie di poligoni costruiti in proporzione; ognuno di essi è inscritto nello stesso cerchio. Hanno rispettivamente cinque, sei, sette, otto, nove e dieci lati. Le cornici sono tagliate in modo da adattarsi esattamente a ciascun inserto. La mano gira una volta intorno all’inserto e poi una volta intorno alla cornice. Non è facile distinguere queste forme. In questa attività il bambino ha dimostrato un’attitudine che supera quella dell’adulto. In genere, per distinguere tra un ottagono, un ennagono e un decagono si contano i lati. Il bambino riconosce la forma senza farlo, capisce e riconosce le differenze di forma in modo molto sorprendente.

Abbiamo anche una serie di triangoli. Offriamo al bambino ogni varietà di triangoli. Anche qui il bambino tocca i bordi sia dell’inserto che della cornice. Le differenze in questo caso sono facili da vedere. Ci sono due triangoli equilateri, due triangoli isosceli, che hanno due lati uguali e un angolo acuto. Di questi, l’isoscele acuto, l’isoscele retto, lo scaleno retto e lo scaleno acuto sono posti in gradazione e presentati nella loro varietà.

Abbiamo quindi tre figure contrastanti. Dopo il contrasto, vengono proposte in serie le gradazioni e le varietà di cerchi, quadrati e triangoli. Così, nella pratica di questi esercizi, il bambino arriva anche alla distinzione tra i gruppi.

A seguire proponiamo un’ellisse e un ovale, figure molto simili tra loro. Le due estremità dell’ellisse sono uguali, mentre nell’ovale un’estremità è più grande dell’altra, ma la cornice funge comunque da controllo dell’errore. Se il bambino cerca di inserire l’ovale all’interno della cornice dell’ellisse questo non ci entrerà, e lo stesso vale per l’altro. L’esercizio fissa l’attenzione del bambino. Il materiale lo aiuta a registrare le piccole differenze nella sua mente. Diamo al bambino anche il trapezio, il parallelogramma, un triangolo con i lati curvi e un fiore.

Le figure di base vengono quindi presentate attraverso il tatto, il movimento e l’esperienza di posizionarle al posto giusto. Nelle nostre scuole, un bambino tra i tre anni e mezzo e i quattro anni riconosce tutte queste figure. Ciò è di estrema importanza, perché è a questa età che queste forme si fissano nella mente dell’individuo. Collocare un inserto in una cornice che gli corrisponda esattamente nella forma è di grande importanza per fissare l’attenzione e la memoria della forma. Questo materiale è stato utilizzato per la prima volta per l’educazione dei bambini ipodotati, considerati quasi ineducabili. Possiamo spiegare le differenze di dimensioni e di forma a un bambino ipodotato, che potrebbe non capirle mai. Tuttavia, se questo bambino può maneggiare un oggetto, toccarlo e collocarlo in una cornice esatta e nella posizione esatta, la sua attenzione si fissa sulla forma. La difficoltà di inserire l’inserto in una cornice che non si adatta comincia a risvegliare anche il ragionamento. Se tocca il contorno, lungo il perimetro dell’inserto, sembra che la sua mente si apra nell’essere invitato a imparare la forma attraverso i sensi. Nel bambino ipodotato questi aspetti psicologici possono essere visti ancora più da vicino quando è in grado di usare il movimento, e non solo la vista, per il riconoscimento. Possiamo capire come questo rapido progresso sia molto importante nello sviluppo.