Daniele Pasquazi

I ludi geometrici di Leonardo da Vinci

Introduzione

Tra i molteplici interessi di Leonardo non dobbiamo dimenticare la matematica ed in particolar maniera la geometria, come testimoniano ad esempio, i numerosissimi disegni che compaiono nel Codice Atlantico (si è studiata l’edizione curata da Marinoni A.). I suoi disegni evidenziano la ricerca, diremmo quasi ossessiva, di risolvere uno dei problemi più difficili nella storia della matematica ossia la quadratura del cerchio, che consiste nel riuscire a costruire, usando solo riga e compasso, il quadrato equivalente ad un dato cerchio. Fu capace di quadrare un numero incredibile di parti di cerchio, figure simili a ornamenti geometrici, ricchi di simmetria e bellezza, ma non riuscì ovviamente a quadrare l’intero cerchio: è presumibile che non dovesse essere a conoscenza degli insuccessi dei suoi predecessori (ormai si era convinti dell’impossibilità di trovare una soluzione anche se la certezza arrivò solo nel diciannovesimo secolo), oppure, che pur sapendolo, non si desse ugualmente per vinto. Ci colpisce infatti la sua voglia di misurarsi in problemi che sono delle vere e proprie sfide al pensiero, il cui fascino risiede nella semplicità dell’enunciato e nella soluzione non banale. Per queste motivazioni, l’esempio fornito da Leonardo deve essere fatto presente agli studenti, che debbono essere stimolati a provare, a mettersi in gioco, ad esplorare ciò che è nuovo; non è importante arrivare necessariamente ad una soluzione, ma è più importante immaginare una strategia risolutiva, magari solo un’intuizione, rischiando anche di sbagliare, senza paura.

Inoltre leggendo il Codice, ci si convince facilmente che le conoscenze geometriche di Leonardo sono poche e quelle poche non sempre corrette: tuttavia nella geometria e del resto, come in ogni sua altra attività, manifestò sempre una forte immaginazione, spiccate intuizioni, nonché creatività, ricerca del bello e dinamicità, per nulla interesse al formalismo; in poche parole, i tratti essenziali del suo pensiero ci sono apparsi molto vicini a quelli dei nostri preadolescenti.

Pertanto si è scelto il Codice di Leonardo come spunto per attività didattiche, soprattutto per la scuola del primo ciclo: seguendo una sua idea, peraltro mai realizzata, di raccogliere tutti i suoi disegni in un libro chiamato Elementi Ludici Geometrici, il sottoscritto ha collaborato con il prof. Franco Ghione del dipartimento di matematica dell’università agli studi di Roma Tor Vergata, alla realizzazione di una serie di attività proposte, sotto forma di un gioco, che hanno l’obiettivo di stimolare e sviluppare il concetto di equivalenza di aree, argomento fondamentale nell’istruzione della scuola del primo ciclo e che crea non pochi problemi agli studenti. Queste attività possono essere facilmente realizzate mediante il materiale contenuto nella scatola I Ludi Geometrici: un gioco per avvicinarsi al concetto di area (edito Opera Nazionale Montessori): in essa sono contenuti 149 pezzi in plaxiglass di diverse forme geometriche, che richiamano facilmente alla mente le mattonelle metalliche montessoriane, almeno per quello che concerne il loro uso e la loro funzionalità. L’attività, proponendosi di giungere a determinati obiettivi disciplinari mediante il gioco, vuole contribuire, tra l’altro, alla costruzione della mente razionale e allo sviluppo delle capacità argomentative dei ragazzi, elementi fondamentali tra l’altro, per la formazione del cittadino del domani.

Prerequisiti per le attività

Per essere capaci di poter eseguire da soli e comprendere il significato delle azioni necessarie alla determinazione delle superfici delle figure di Leonardo, i ragazzi debbono essere in possesso di alcuni prerequisiti. Come gli Elementi di Euclide ci insegnano, è fondamentale in un corso di matematica o quantomeno prima di una nuova attività, stabilire premesse e assicurarsi che siano comprese da tutti anche grazie ad opportune esercitazioni. Una di queste è la Nozione Comune 3 che afferma: “se a cose uguali (leggere equivalenti) vengono sottratte cose uguali, le rimanenti saranno uguali”. Ai ragazzi deve essere anche noto il concetto di area ed almeno il suo calcolo per il quadrato e per il cerchio ed in generale il concetto di equivalenza di aree. Un altro prerequisito imprescindibile è conoscere e saper applicare un caso particolare del teorema di Pitagora: per introdurre quest’ultimo, nel caso in cui non sia stato ancora trattato, si può prendere spunto dal noto aneddoto che ci riferisce di Pitagora impegnato in una lunga attesa in una stanza del palazzo del tiranno Policrate. Il suo sguardo fu attratto da una mattonella del pavimento: questa, di forma quadrata, era rotta lungo una delle sue diagonali. Evidentemente colto da una idea geniale, corse presso la propria dimora e cominciò a rompere mattonelle nello stesso modo.

In particolare si doveva essere accorto che quattro mattonelle confinanti, formanti un unico quadrato, rotte lungo una loro diagonale, formavano un nuovo quadrato “inscritto” nell’altro, di area pari a due mattonelle ossia la metà; tale quadrato inscritto aveva come lato l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele (mezza mattonella) su i cui cateti sono appoggiate proprio due mattonelle. Si può dunque consegnare ai ragazzi una tavola (prima immagine delle prossime tre) e chieder loro di ripercorrere, disegnando i vari quadrati, i passi salienti della storia appena raccontata.

Naturalmente si può ripetere l’esperienza per altri triangoli rettangoli isosceli, scoprendo, mediante la quadrettatura del foglio di lavoro, che le cose non vanno diversamente. Ciò convince i ragazzi che in generale la somma dei due quadrati costruiti sui due cateti di un triangolo rettangolo isoscele è equivalente al quadrato costruito sulla sua ipotenusa.

Un ulteriore obiettivo di questa attività può consistere, dato un quadrato qualsiasi, nel fornire un criterio per costruire quello di area doppia: quale sarà il suo lato? Anche questo è un interessantissimo problema, semplice nel suo enunciato ma non banale nella risposta: naturalmente sono possibili alcune soluzioni ed un paio di queste sono proprio semplici applicazioni derivanti dall’aneddoto appena raccontato.

Motivati anche dal fatto che a Leonardo doveva essere noto un teorema di Pitagora valido pure per i cerchi (come testimoniato dall’immagine qui di fianco), si possono far raggiungere, mediante opportune attività, le medesime conclusione valide per quadrati anche per i cerchi. E allo stesso modo si può proporre la seguente domanda: dato un cerchio qualsiasi, in che modo si può costruire quello di area doppia?

Considerazioni del genere potrebbero aver stimolato Leonardo a realizzare disegni di spirali (come quella a lato) che suggeriscono un modo per ottenere aree multiple di una dato quadrato o di un dato cerchio.

Tale spirale, ci comunica dinamicità e si è convinti che il movimento faciliti l’apprendimento (come era ben noto a M. Montessori e come ci viene confermato dai recenti studi nell’ambito delle Neuroscienze). Per questo motivo, si potrebbe usare questa idea soprattutto per ragazzi più piccoli che magari non sono stati ancora introdotti ad un calcolo rigoroso dell’area di un cerchio: infatti attraverso una semplice animazione si può far capire seppur solo intuitivamente, come l’area di uno dei due quadrati della figura venga incrementata dall’area del quadratino che sta aumentando man mano le sue dimensioni; quando il triangolo rettangolo bianco sarà divenuto isoscele, allora il quadrato maggiore avrà area doppia di ciascuno dei due più piccoli (ed uguali).

Con considerazioni analoghe dunque, si può pervenire alle medesime conclusioni anche per i cerchi inscritti. Ora, congiungendo i punti medi dei lati dei quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa, si formeranno nuovi quadrati che hanno area (si è visto precedentemente nell’aneddoto di Pitagora) metà dei rispettivi quadrati di partenza; quindi tracciate le loro diagonali, si otterranno nuove figure geometriche: altri quadrati, triangoli rettangoli isoscele, settori circolari (da Leonardo chiamate porzioni) e le figure geometriche nere (da noi chiamate interstizi).

Invitati a fare considerazioni analoghe alle precedenti, gli studenti non dovrebbero impiegare molto a concludere che non raddoppia solamente l’area del quadrato e del cerchio costruiti sull’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele, ma anche quella di tutte le altre figure in essi contenute. Tutto ciò dunque di solito, viene compreso senza bisogno di alcuna formula, ma semplicemente osservando il movimento opportuno delle figure come prima descritto. Queste animazioni non possono essere naturalmente considerate vere e proprie dimostrazioni matematiche, tuttavia mettono in evidenza le caratteristiche fondamentali delle figure esaminate, preparando la mente dello studente alla comprensione formale e rigorosa tipica di studi più avanzati.

In conclusione:

A = 2a

B = 2b

Questi risultati possono portare ad ulteriori sviluppi e cioè all’analogo teorema di Pitagora valido per le porzioni e gli interstizi.

In questo modo si sono ottenute le prime due regole del gioco, che possono essere riassunte in queste immagini:

Una prima attività laboratoriale

Note queste due prime regole, si è pronti per proporre alcune attività presenti nei Ludi; la classe può essere divisa in gruppi ai quali viene consegnato il seguente materiale:

1. una tavola con la riproduzione di un disegno di Leonardo preso dal Codice Atlantico;
2. una guida;
3. i pezzi geometrici necessari per ricostruire sulla guida l’immagine della tavola, più quelli che occorrono per poter fare delle sostituzioni;
4. un righello;
5. un foglio con le consegne e le risposte.

L’obiettivo consiste nel determinare le superficie delle figure di Leonardo mediante una quadratura, intesa in questo contesto come una trasformazione, mediante opportune sostituzioni, in un quadrato o in un cerchio, per i quali è semplice determinarne l’area.

Si prenda come esempio la seguente attività: i ragazzi ricevono la seguente tavola sulla quale è rappresentata la figura da quadrare, la relativa guida,

Le lunule

Nel Codice Atlantico sono presenti un altro insieme di figure molto interessanti che hanno suggerito la realizzazione di altre attività nello stesso stile delle precedenti.

Osservando la figura a lato, se ad entrambi i semicerchi si sottraggono superfici equivalenti (una volta 2a, una volta a + a), ciò che rimane sarà costituito ancora da figure equivalenti, cioè L e T (per la Nozione comune 3).

Pertanto anche la lunula è quadrabile e la sua area è uguale a quella del triangolo rettangolo isoscele su cui è costruita:

L = T, risultato di straordinaria bellezza considerata anche la sua semplicità.

Quest’ultimo risultato costituisce la terza regola del gioco, ricordata nell’immagine a lato.

Una conseguenza immediata è verificare la validità di un teorema di Pitagora anche per le lunule! In realtà, se si volesse approfondire per quali figure costruite sui lati di un triangolo rettangolo sia valido il teorema di Pitagora, si scoprirebbe che questo è verificato per tutte le figure simili costruite sui suoi lati (per spunti su questo, vedere anche le ultime pagine di Psicogeometria).

Una seconda attività laboratoriale

La terza regola è utile per determinare la superficie di figure come quella qui in basso. L’attività è pensata come la precedente: naturalmente tavola, base e pezzi in plexiglass saranno diversi. Per la figura in questione, in particolare saranno consegnati i pezzi qui di seguito mostrati.

Dopo aver costruito la figura con le quattro lunule in dotazione, si sostituirà ciascuna di queste con un triangolo equivalente, in virtù della terza regola, ottenendo una quadratura della superficie data.

Stimolare la creatività: costruire tavole di nuove figure e trovare la quadratura

Nella scatola ci sono diverse riproduzioni dei disegni di Leonardo da Vinci e i relativi pezzi per ricostruirle e fare le opportune sostituzioni al fine di riuscire a determinare la loro superficie. È interessante notare che le varie figure, pur seguendo sempre le tre regole imparate, hanno quadrature che presentano diversa natura, caratterizzate da strategie e sostituzioni differenti; inoltre, spesso accade, che gli studenti trovino più quadrature per le stesse figure.

Per stimolare ulteriormente la creatività dei ragazzi e al tempo stesso per sollecitare un lavoro di analisi delle procedure effettuate e una conseguente sintesi, si possono far costruire loro nuove figure da quadrare, usando sempre il materiale presente nella scatola dei Ludi.

Ad esempio, si consideri il disegno qui a lato, preso sempre dal Codice Atlantico: si può chiedere ai ragazzi di disegnare la relativa tavola, la base, di scegliere i pezzi necessari alla sua costruzione e alla sua quadratura.

Alcuni esempi di attività per bambini più piccoli

Ai bambini più piccoli, diciamo dell’ultimo anno dell’infanzia o dei primi della primaria, possono essere proposte attività che siano propedeutiche al concetto di area (e non solo): sicuramente si può raccontare loro o far leggere storie e aneddoti riguardanti la vita di Leonardo; si può parlare del suo genio, del suo coraggio e si possono mostrare i suoi disegni.

Mettendo a disposizione le tavole dei Ludi e tutti i pezzi, si può chiedere ai bambini di ricoprire con questi i disegni delle tavole. Questa attività li stimola a riconoscere forme uguali, rettilinee e curvilinee, in mezzo a tante figure diverse tra di loro.

Una seconda attività, è finalizzata ad una iniziale visualizzazione del concetto di contorno delle figure, dunque di perimetro, unita ad un miglioramento della coordinazione oculo - manuale; si consegnano ai bambini le figure di Leonardo realizzate con i tratteggi; quindi si potrà chiedere loro di ripassare tali contorni, colorando poi anche l’intera superficie con uno o più colori. Oppure si possono far colorare le superfici ottenute dai disegni dei bambini delle figure di Leonardo utilizzando delle cornici appositamente costruite, più semplici da usare rispetto alla riga ed al compasso.

Conclusioni

La mia personale esperienza mi ha portato a concludere che le attività scolastiche che prendono spunto dall’operato di grandi geni del passato nonché dai loro capolavori, fungono certamente da stimolo per gli studenti: il confronto con Leonardo, con il suo genio ma al tempo stesso con la sua semplicità, è un gioco che in genere piace ai ragazzi che sono in questo modo più motivati a cimentarsi con le loro capacità.

Si vuole fare qualche breve osservazione sui materiali proposti in queste attività: si è cercato di realizzarli “belli”, per il tipo di materiale con cui sono realizzati e per i colori, piacevoli al tatto e soprattutto, più precisi che sia possibile. Tutto ciò, naturalmente, è ben noto ai montessoriani. Questo è necessario se si vuole catturare l’interesse di ragazzi che vivono in un'epoca profondamente tecnologica e abituati a manipolare (non sempre in modo consapevole) strumenti ben più sofisticati di quelli che possono essere utilizzati in un ambiente scolastico. E tanto più questi materiali saranno apprezzati quanto più saranno riusciti a guidare gli alunni verso una nuova scoperta personale, senza l’ausilio del docente o comunque limitato. Naturalmente, come già detto, comprendere una nuova proprietà in questo modo non può essere paragonata all’aver dimostrato in senso matematico un teorema: i materiali necessariamente riguarderanno solo un numero molto limitato di casi, ma questi dovranno essere capaci di trasmettere l’idea che per tutti gli altri casi, le cose non potranno andare diversamente.

• Bagni G.T, D’Amore B., Leonardo e la matematica, in Giacardi L., Mosca M., Robutti O. Conferenze e seminari 2006 - 2007. Associazione Subalpina Mathesis - Seminario di Storia delle matematiche “T. Viola”. Torino, Kim Williams Books, 89 - 102, (2007).
  
• Marinoni A., Leonardo da Vinci, Il codice Atlantico, - Giunti (1999).
  
• M. Montessori, Psicogeometria, edito da Benedetto Scoppola, Opera Nazionale Montessori (2012).
  
• Valéry Paul, Introduzione al metodo di Leonardo da Vinci (1894), Note e Digression (1919), Édition Gallimard, Paris (1919).