Altro sulle frazioni

Nella Tavola dei Numeri che abbiamo visto nel sistema decimale, c’erano nove perline¹⁵¹ in ogni riga per ogni categoria. Qui abbiamo una tavola simile in cui ogni fila di perline rappresenta le gerarchie dalle unità ai milioni. Questa Tavola dei Numeri è diversa da quella che va da uno a mille che veniva usata all’inizio per le addizioni e le sottrazioni. Viene utilizzata, tra l’altro, per rendere chiaro il collegamento tra il concreto e l’astratto. Dobbiamo passare dai materiali all’astrazione molto lentamente e gradualmente. In seguito dobbiamo mostrare come l’astrazione viene ricavata e cosa significa. Se tralasciamo quest’ultimo passaggio, lasciamo due cose isolate nella mente del bambino che possono generare più confusione che chiarezza. Abbiamo anche le tabelle che si usavano nel sistema decimale per l’addizione e la sottrazione in cui i simboli erano scritti in ogni gerarchia fino a nove, una sotto l’altra in colori diversi, verde per le unità semplici, blu per le decine, rosso per le centinaia e verde per le migliaia.

Abbiamo una moltiplicazione: 325 moltiplicato per 54. Nel sistema decimale rappresentavamo questi numeri con una carta da 300, una carta da 20 e una carta da 5. Sappiamo che la moltiplicazione è un tipo speciale di addizione. Possiamo dividere 325 in 3 centinaia, 2 decine e 5 unità. Quindi abbiamo: (300 + 20 + 5) × 4 + (300 + 20 × 5) × 50.

In questa Tavola dei Numeri si conta per decine. Se vogliamo moltiplicare 20 per 10, contiamo 2 per dieci volte. Il 20 contiene 2 decine e quindi 2 contato dieci volte darà il risultato. Nella moltiplicazione, (300 + 20 + 5) × 54 diventa (300 × 10) + (20 × 10) + (5 × 10) × 5 + (300 + 20 + 5) × 4. Quindi nel moltiplicatore il 50 scompare e appare il 5, perché 50 è dieci volte 5 e i dieci volte 300, 20 e 5 si formano facilmente mettendo uno zero dopo di essi. Quindi i numeri vengono moltiplicati prima per 10 e poi per 5. Poiché i bambini conoscono già la tabella delle moltiplicazioni, il resto del lavoro è facile. Otteniamo (300 + 20 + 5) × 4 + (3.000 + 200 + 50) × 5. Il bambino può continuare la moltiplicazione sulla Tavola dei Numeri. Per prima cosa l’unità 5 viene moltiplicata per 4 che è uguale a 20 e quindi a 2 decine. Poi la moltiplicazione si sposta sulla linea delle decine e si ottiene 4 per 20 che è 80 e cioè 8 decine. Nella gerarchia delle centinaia abbiamo 300 moltiplicato per 4 che è 1.200 ed è pari a 12 centinaia. Quindi otteniamo 1.200 + 80 + 20 = 1.300. Quando abbiamo moltiplicato i numeri per 50 abbiamo diviso il moltiplicatore in 10 e 5 perché 10 volte 5 è uguale a 50. Quando abbiamo moltiplicato per 10 abbiamo visto che aggiungendo uno zero a ogni numero si otteneva il risultato: 300 è diventato 3.000, 20 è diventato 200 e 5 è diventato 50. Dobbiamo moltiplicare il tutto per 5. Otteniamo quindi 15.000 + 1.000 + 250 = 16.250. Quindi sommiamo i due risultati 1.300 + 16.250. Il risultato della moltiplicazione è 17.550.

Questa Tavola dei Numeri viene presentata al bambino per aiutarlo a connettersi con l’astratto, per aiutarlo a cogliere il metodo della moltiplicazione senza materiale. La moltiplicazione può essere eseguita su questo strumento prima moltiplicando 325 per 4 e poi per 5. Prima si moltiplica 325 per 4 disponendo le perline secondo la loro gerarchia, iniziando con le unità, e si ottiene 1.300. Poi moltiplichiamo 325 per 5 e aggiungiamo uno zero alla fine nel posto delle unità, partendo dal posto delle decine, perché dobbiamo aggiungere uno zero per la moltiplicazione per dieci (50). In questa parte della lunga moltiplicazione, il legame tra il materiale e l’astrazione viene messo in evidenza.

Possiamo proporre al bambino una parte importante della geometria: la misurazione degli angoli. Per prima cosa misuriamo l’angolo retto, ma questo non è un’unità di misura. È solo una pietra di paragone, potremmo dire, perché tutto viene confrontato con esso. Un angolo è più grande o più piccolo di un angolo retto: quelli più piccoli dell’angolo retto si chiamano angoli acuti e quelli più grandi dell’angolo retto si chiamano angoli ottusi. Gli angoli ancora più grandi degli angoli ottusi sono chiamati angoli piatti¹⁵². Tutti gli angoli si misurano in gradi. Quando diciamo che l’angolo è uguale a un decimo di cerchio, è di 36 gradi. Un quarto di cerchio è un angolo retto ed è pari a 90 gradi, mentre mezzo cerchio è un angolo piatto pari a 180 gradi. C’è un cerchio di dieci centimetri di diametro, fatto di una spessa lastra di rame, che è diviso in 360 gradi. Al grado zero c’è una linea rossa pari alla lunghezza del raggio del cerchio. Appoggiamo il lato dell’angolo che vogliamo misurare sulla linea rossa dello zero e leggiamo sul cerchio il numero che indica l’altro lato. Mostriamo inoltre al bambino come rappresentare per iscritto i gradi dell’angolo, ad esempio: 36 gradi.

Possiamo anche fare addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni con gli angoli. Il materiale utilizzato per queste somme è lo stesso utilizzato per le frazioni.

Per prima cosa iniziamo con l’addizione di due angoli, mettendoli uno accanto all’altro a partire dalla linea rossa dello zero. Leggiamo il numero indicato dal secondo pezzo che è la somma dei due angoli.

Per sottrarre 36 gradi da 60 gradi prendiamo l’angolo maggiore (60 gradi) e lo collochiamo nel cerchio accanto alla linea rossa. Poi mettiamo l’angolo più piccolo (36 gradi) sopra l’angolo più grande, in modo che due lati di entrambi gli angoli coincidano lungo 60 gradi, dove termina l’angolo più grande. L’altro braccio dell’angolo più piccolo indica la risposta: 24 gradi.

La moltiplicazione è solo una forma semplificata dell’addizione. Quando dobbiamo moltiplicare 60 gradi per 2, prendiamo due angoli di 60 gradi e li mettiamo uno accanto all’altro per ottenere il risultato: 120 gradi.

Per dividere per 3 un angolo piatto che misura 180 gradi dobbiamo dividerlo in tre angoli uguali e misurarne uno.

Nelle nostre scuole proponiamo questo esercizio al bambino tra i cinque e i sei anni, di solito dopo avergli mostrato le frazioni. A volte può essere mostrato al bambino prima delle frazioni. La riduzione delle frazioni in decimali, tuttavia, deve essere proposta solo dopo l’insegnamento delle frazioni. Al bambino diamo solo la prima impressione di cosa sia una frazione decimale e di come funzioni. Abbiamo lo stesso tipo di cerchio che abbiamo visto per la misurazione, ma qui i segni degli angoli non sono per grado. Partendo dalla linea rossa dello zero, il cerchio ha 100 divisioni. I segni sono per decine. Prendiamo un pezzo di 1/4 e, posizionando un lato lungo la linea rossa, leggiamo la marcatura sull’altro lato, che è 25.

Una volta ridotti i pezzi in parti decimali si può fare l’addizione accostando due pezzi nel cerchio e leggendo il numero come prima. Quindi 1/2 + 1/4 = 0,50 + 0,25 = 0,75.

Per sottrarre 1/10 da 1/2 poniamo il pezzo che rappresenta 1/2 accanto alla linea rossa dello zero nel cerchio. Posizioniamo il pezzo 1/10 sopra il primo pezzo in modo che i bracci dei due pezzi coincidano lungo il lato dove c’è scritto 50, e prendiamo la lettura del pezzo da 1/10 lungo l’altro lato per trovare il risultato. Quindi 1/2 - 1/10 = 0,50 - 0,10 = 0,40.

Prendiamo 3 pezzi di 1/10 e li mettiamo uno accanto all’altro nel cerchio e leggiamo il numero indicato dal lato dell’ultimo angolo. Questo è il risultato. Quindi 1/10 x 3 = 0,10 x 3 = 0,30.

Dividiamo il pezzo da 1/2 in 5 pezzi uguali sostituendo un pezzo da 1/2 con 5 pezzi uguali. Poi ne misuriamo uno e leggiamo il risultato. Quindi abbiamo 1/2 ÷ 5 = 0,50 ÷ 5 = 0,10.