Cerchi e frazioni

Possiamo mostrare al bambino che la somma di tutti gli angoli di un poligono è uguale a 2n-4 angoli retti, dove n rappresenta il numero di lati. Quando proponiamo al bambino questa regola di geometria dobbiamo mostrargli il suo significato. La regola ha origine dal triangolo. Indipendentemente dalla forma del triangolo, la somma di tutti e tre gli angoli di un triangolo è sempre uguale a due angoli retti. Questo è difficile da spiegare al bambino dal punto di vista teorico, ma se lo illustriamo praticamente con i materiali il bambino lo capisce facilmente. Possiamo prendere tre tipi diversi di triangoli, un triangolo rettangolo, un triangolo acuto e un triangolo ottuso e tagliarli, separando i tre angoli di ciascuno. I tre angoli di un triangolo, messi uno accanto all’altro, formano un mezzo cerchio (180 gradi), cioè due angoli retti. Quindi la somma dei tre angoli di un triangolo è sempre uguale a due angoli retti.

Abbiamo visto che il triangolo è il costruttore e che tutte le altre figure sono costruite dal triangolo. Quindi la somma degli angoli di qualsiasi poligono sarà misurata dal numero di triangoli che lo compongono. La somma degli angoli del rettangolo e del quadrato misurerà un cerchio (360 gradi), poiché ognuno di essi ha quattro angoli retti. Quindi, quando tutti e quattro gli angoli vengono tagliati e messi insieme, formano un cerchio. Anche nel caso del trapezio, del parallelogramma, del rombo o di qualsiasi figura a quattro lati, tutti i quattro angoli insieme formano un cerchio, di conseguenza, in una figura a quattro lati 2n-4 angoli retti significa 8-4 angoli retti. Quattro angoli retti sommano 360 gradi. Nel caso del triangolo che ha solo tre lati, sono 6-4 angoli retti. Due angoli retti si sommano a 180 gradi.

Il bambino potrebbe non capire perché deve sottrarre i quattro angoli retti. Dobbiamo illustrargliene il motivo attraverso un materiale. Prendiamo un poligono formato da sei triangoli. La somma di tutti gli angoli dei sei triangoli del poligono è uguale a dodici angoli retti, cioè tre cerchi. Indipendentemente dal numero di triangoli che il poligono può contenere, la somma degli angoli formati dai triangoli al centro del poligono è sempre uguale a un cerchio. Ci possono essere un numero qualsiasi di lati e un numero qualsiasi di angoli, ma gli angoli al centro sono uguali a un cerchio o quattro angoli retti (360 gradi), quindi la regola è 2n-4 angoli retti.

Al bambino viene consegnata una serie di dieci cerchi. Il primo è un cerchio intero, il successivo è diviso in due, il terzo in tre e così via fino a quando l’ultimo è diviso in dieci. Il cerchio diviso in tre contiene tre triangoli ottusi⁹⁷. Il cerchio diviso in quattro contiene quattro triangoli rettangoli. Con questo materiale possiamo mostrare al bambino che gli angoli di tutti i triangoli al di sotto del triangolo rettangolo sono inferiori a 90 gradi e che tutte le misure in un poligono sono fatte dagli angoli retti. Questi cerchi vengono utilizzati per la misurazione degli angoli in gradi e per l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione degli angoli. Si usano anche per imparare le frazioni. Questo materiale è fatto di ferro o di ottone. Tutti i dieci cerchi del set sono rossi, così come anche la cornice⁹⁸. Quando si estraggono i pezzi dalla cornice rimane uno spazio bianco visibile per indicare il posto del pezzo.

Il bambino tra i cinque anni e i cinque anni e mezzo ha capito la funzione di queste figure. Ora possiamo mostrargli i dettagli più minuti, uno studio più microscopico dei numeri. Dobbiamo presentare i fatti in modo molto chiaro per mantenere l’interesse del bambino per questi dettagli. Gli spieghiamo che le frazioni sono i pezzi spezzati che formano l’unità e che i nomi delle frazioni sono dati dal numero di pezzi in cui l’unità è spezzata. Possiamo anche insegnare al bambino come esprimere le frazioni: il numero superiore si chiama numeratore perché indica il numero di pezzi che sono stati tolti dal cerchio intero, e quello sottostante si chiama denominatore perché indica il numero di pezzi in cui è stata scomposta l’unità. Possiamo chiedere al bambino di prendere due pezzi da ogni cerchio, ottenendo così 2/3, 2/4, 2/5 e così via. In ogni caso il denominatore è determinato dal numero di parti in cui l’unità è stata divisa. Il denominatore dà anche il nome alla frazione, indicando la categoria dei cerchi da cui sono stati presi due pezzi. Può trattarsi di un’unità spezzata in tre pezzi o in quattro o cinque, a seconda dei casi.

In una fase successiva possiamo mostrare al bambino che quando tutti i pezzi in cui viene scomposto un cerchio vengono riuniti, non abbiamo più una frazione. Anche se può essere espresso sotto forma di frazione, ad esempio 5/5 o 6/6, è ancora l’intero cerchio. Dopodiché vengono consegnate le carte su cui sono scritte le frazioni. Il bambino ne estrae due o tre e ne trova la somma. Nelle scuole tradizionali, una delle cose più difficili da capire per il bambino è perché deve dividere per moltiplicare le frazioni. È necessario dare i fatti prima di dare le regole, perché il bambino non è ancora arrivato a fare astrazioni attraverso le regole. Per sommare frazioni di uguale denominatore si sommano i numeratori e si lascia invariato il denominatore. Il bambino potrebbe chiedere perché è necessario sommare solo i numeri in alto e non quelli in basso. Possiamo mostrargli il cerchio diviso in cinque parti e chiedergli di sommare 2/5 e 1/5. Il bambino vedrà che 2 e 1 fa 3, e che entrambi i pezzi appartengono allo stesso cerchio che è diviso in cinque parti, per cui il risultato è 3/5. In questo modo capisce perché non ha bisogno di sommare i denominatori. Nel caso della sottrazione 3/5 - 2/5 è uguale a 1/5. Dai tre pezzi del cerchio che è diviso in cinque parti, due di questi pezzi devono essere sottratti, il che lascia una parte dello stesso cerchio uguale .

Nel sistema decimale, dieci perline slegate di una gerarchia inferiore vengono cambiate in una di gerarchia superiore. Nel caso delle frazioni 2/4 può essere sostituita da 1/2, il valore di entrambi è uguale. Questo ci porta a un’altra regola delle frazioni: quando moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per lo stesso numero, il valore della frazione non cambia. Quindi anche se si divide il numeratore della frazione e il denominatore per lo stesso numero, il valore della frazione non cambia.

In 2/3, se dividiamo ciascuno dei due pezzi in tre parti uguali otteniamo sei pezzi. Ora anche il denominatore deve cambiare perché i sei pezzi non appartengono più al cerchio diviso in tre parti. Quindi anche il denominatore deve essere moltiplicato per 3, ossia 9. Il valore non cambia perché lo spazio occupato nel cerchio è lo stesso: 6/9 =2/3 .

Per moltiplicare 1/6 con 4 chiediamo al bambino di prendere quattro pezzi di 1/6. Il bambino vede che il denominatore rimane lo stesso e che il numeratore è moltiplicato per quattro. Quindi la regola è che per moltiplicare una frazione per un numero intero si moltiplica solo il numeratore per quel numero. Quindi 1/8 moltiplicato per quattro sarà 4/8. Poiché il bambino sa come cambiare la frazione sostituendo la frazione minore, può cambiare in 1/2. Quindi vediamo che sia che moltiplichiamo il numeratore, che è quattro, per 4, sia che dividiamo il denominatore, che è otto per 4, il risultato è lo stesso: 1/2.

Esistono due tipi di divisioni: distribuzione semplice e trasformazione delle frazioni prima della distribuzione. La divisione viene svolta con l’aiuto dei birilli. Per dividere 4/6 per 2 abbiamo due birilli e dobbiamo distribuire tra loro 4/6. Dividiamo i quattro pezzi equamente tra i due birilli. Il denominatore è lo stesso perché i pezzi che sono divisi formano una parte della solita famiglia, del solito cerchio. È uguale a 2/6. Il 2/6 viene cambiato con 1/3. Questa è una divisione in cui c’è solo distribuzione e non trasformazione. Per dividere 1/5 per 2 dobbiamo dividerlo in due parti perché un pezzo non può essere diviso tra due birilli. Se scomponiamo 1/5 in due parti possiamo darne mezza ad ogni birillo. Ognuno riceve 1/10. In questo caso l’operazione viene svolta sul denominatore e non sul numeratore. Il denominatore viene moltiplicato. La regola è che per dividere una frazione possiamo o dividere il numeratore o moltiplicare il denominatore.

Esiste un altro tipo di addizione o sottrazione nelle frazioni, in cui i denominatori non sono uguali. Ad esempio, (1/3 + 1/6) = (2/6 + 1/6) = 3/6 = 1/2. Dobbiamo scomporre 1/3 nella somma in 2/6 e poi fare l’addizione. È lo stesso per la sottrazione. Per sottrarre 2/8 da 1/2 prima dobbiamo scomporre 1/2 nelle parti del denominatore di 8. Quindi (1/2 - 2/8) = (4/8 - 2/8) = 2/8 = 1/4. Quindi la regola è che per sommare o sottrarre le frazioni dobbiamo prima trovare il denominatore comune.

Ci sono tre tempi nello studio delle frazioni. Nel primo al bambino viene presentato il materiale e lavora con esso sensorialmente. Questo periodo dura circa sei mesi. Il secondo tempo è quello in cui viene presentata la scrittura delle frazioni. Il terzo, presentato all’età di sette anni, fornisce le regole delle frazioni. Il bambino conosce già le regole attraverso l’esperienza e la pratica, ma queste devono essere espresse a parole. A differenza delle scuole tradizionali noi diamo le definizioni di queste regole con il minor numero di parole possibile, descrivendo una lunga esperienza. Quindi le regole vengono per ultime. Quando gli si chiede di esprimere con parole proprie i fatti che ha visto usando il minor numero di parole possibile, un bambino può inizialmente fare lunghi discorsi per esprimere le regole che ha imparato. Il suo interesse può essere suscitato dal tentativo di dare le regole in modo chiaro, con il minor numero di parole possibile. Infine, quando l’insegnante dà le definizioni classiche, il bambino è entusiasta e desideroso di impararle a memoria, perché tutto ciò che era necessario è stato detto in poche e chiare parole.