Memorizzare con interesse

nche se il percorso verso l’astrazione nel campo della matematica con il nostro metodo è molto lento, il bambino fa più passi avanti con questo che con qualsiasi altro metodo. Con nessun altro metodo un bambino di tre anni avrebbe raggiunto questo punto così rapidamente. Per prima cosa abbiamo dato al bambino un quadrato composto da perline vere in cui poteva contare tutte le cento perline. Poi le perline erano rappresentate solo da cerchi nel quadrato. Ora possiamo proporre il Gioco dei Francobolli. Le gerarchie vengono qui introdotte con gli stessi colori simbolici delle carte: verde, rosso e blu. Il materiale costituito da lunghi fogli di francobolli perforati⁶⁶ si trova in piccoli libri. In alcuni libri tutte le pagine sono unità, altri libri contengono decine, altri ancora centinaia e così via. Invece delle barre della decina, dei quadrati del centinaio e dei cubi del migliaio, qui il bambino ha a disposizione qualcosa di simile a delle cambiali che non hanno realmente dei valori, ma li rappresentano soltanto.

Dal punto di vista psicologico è necessario fornire un cambiamento di materiale affinché il bambino possa continuare a svolgere la stessa attività. Lo sviluppo del bambino è assicurato dal fatto che sia attivo lungo una certa linea. Dopo il materiale con le perline cambiamo l’attività offrendogli semplicemente questi pezzi di carta. Tuttavia il bambino ripeterà gli stessi esercizi e li assimilerà. Il procedimento è simile a quello con il materiale di perline. Prima si lavora senza riporto e poi con il riporto. È la prima volta che il bambino lavora a questa attività da solo. Invece di essere un gioco collettivo, questo è un gioco individuale.

Rappresentiamo i bambini con dei birilli dai colori simbolici. I birilli verdi rappresentano le unità, quelli blu le decine e quelli rossi le centinaia. Le operazioni si fanno solo con i birilli, non con i bambini come prima. In una divisione, per dividere 3.626 per 128, si posizionano i birilli secondo le loro gerarchie, si strappa dal materiale dei francobolli il capitale che ci serve e lo si distribuisce ai birilli in proporzione alle loro gerarchie. Se il birillo che rappresenta un’unità riceve uno, il birillo che rappresenta una decina riceve dieci e il birillo che rappresenta un centinaio riceve cento. Il centinaio otterrà dieci volte di più della decina. In questo caso dobbiamo iniziare con la gerarchia più alta, le migliaia. Se abbiamo solo un centinaio, dobbiamo trasformarlo in dieci decine e distribuirle equamente, poiché la divisione è la distribuzione di tutto il capitale con cui siamo partiti. Per prima cosa diamo al bambino la divisione senza resto. In seguito, dopo che ha risolto alcuni problemi, gli proponiamo la divisione con resto, dicendogli che se rimane una somma che non può essere distribuita a tutti i birilli, non si può dare nulla a nessuno di loro e deve essere conservata come resto.

Per svolgere queste attività con il materiale di francobolli è sufficiente che il bambino sappia contare fino a dieci. Non importa se il bambino non conosce il conteggio lineare, può comunque fare questi esercizi perché si basano solo sul sistema decimale. È necessario che il bambino svolga questi esercizi a lungo, per aiutarlo a comprendere chiaramente il meccanismo dei numeri.

Tutti gli esercizi svolti contemporaneamente dal bambino alla stessa età sono chiamati esercizi paralleli. Queste attività possono riguardare materie differenti come la matematica e la grammatica, oppure branche diverse della stessa materia.

Uno di questi esercizi paralleli, presentato dopo il Gioco dei Francobolli ma svolto insieme a quest’ultimo, è il Gioco dei Punti, che rappresenta un ulteriore passo verso l’astrazione. Su un foglio ci sono cinque colonne, ognuna delle quali è separata dalla successiva da una spessa linea nera. Ogni colonna (a partire da destra) è contrassegnata rispettivamente dall’unità, dalla decina, dalle centinaia, dalle migliaia e da diecimila, e contiene novanta quadratini. Il formato della carta su cui sono segnate le colonne è quello di un quaderno. Al bambino viene consegnato un piccolo foglio di vetro smerigliato sotto cui viene posto il foglio con le colonne in modo che i quadratini siano visibili. Il vetro smerigliato ha una superficie ruvida su un lato, in modo che il bambino possa scriverci sopra.

Il Gioco dei Punti viene proposto al bambino nell’età in cui non sa ancora contare più di dieci. Gli viene data una fila molto lunga di numeri grandi per l’addizione.

Sa contare fino a dieci, quindi prende l’unità nella prima riga dei numeri grandi e inizia a contare mettendo un punto in ogni quadratino della colonna delle unità. Quando ha segnato il numero di unità, mette una crocetta nel punto in cui si fermano. Poi segna le decine nella colonna successiva. Più la somma è lunga, più è interessante per il bambino! Dopo aver segnato tutti i punti, il bambino inizia a contare le decine in ogni colonna, partendo dalle unità. Gli diciamo che ogni volta che trova un dieci completo, deve mettere un simbolo nello spazio a sinistra sotto ogni colonna. Dopo aver segnato tutte le decine complete deve inserire anche i simboli delle unità inferiori a dieci. I simboli delle decine complete devono essere di colore diverso da quello delle unità, per distinguerle. I simboli (punti) delle decine complete vengono riportati nella colonna successiva. Quando tutti i conteggi e le operazioni di riporto sono stati completati e i numeri inferiori a dieci sono stati scritti in ogni colonna, si ottiene il risultato della somma.

C’è un altro semplice gioco che si svolge intorno al sistema decimale. Il materiale deve essere presentato chiaramente al bambino in modo da rendere il gioco interessante. Il bambino conosce già il meccanismo dell’addizione, del riporto e del gioco delle quantità, ma non conosce la somma a memoria di quanto fanno 3 e 4, o 6 e 7. È molto difficile insegnarglielo perché deve essere acquisito a livello inconscio. Dobbiamo quindi insegnargli un esercizio interessante per memorizzare le combinazioni mentre le esegue, senza rendersi conto di farlo.

Il Gioco del Serpente offre al bambino un esercizio interessante. Ripetendo questa attività il bambino impara inconsciamente, senza rendersi conto dell’apprendimento. Il materiale per il questo gioco consiste in una scatola contenente quarantacinque barre da dieci, una scatola di barre di perline bianche e nere che rappresentano quantità da 1 a 9 e una scatola di barre di perline colorate (rosse, verdi, rosa, gialle e così via), contenente dieci⁶⁷ barre di ogni colore. Mettiamo una fila di barre di perline colorate assortite di grande lunghezza. A volte il bambino forma il serpente per tutta la stanza! Cominciamo a contare le barre di perline che formano il serpente. Per esempio, se le prime due barre di perline della fila sono 8 e 9, contiamo fino a dieci e, quando arriviamo a dieci, mettiamo un pezzo di carta dopo la seconda perlina della barretta del 9 per indicare il punto in cui si completa la decina. Sostituiamo la decina che abbiamo contato con una barra di dieci perline dorate. Contiamo poi ciò che è rimasto sulla barra del 9 e indichiamo la quantità rimasta con la barra di perline bianche e nere del 7. Così, 9 e 8 vengono sostituiti da 10 e 7. Le barre di perline colorate 9 e 8 contate vengono messe in una scatola a parte. Continuiamo a contare il serpente partendo dalla barra di perline bianche e nere del 7 per fare un’altra combinazione di dieci e così via finché la fila non è completata e sostituita dalle barre di perline dorate del dieci. Il serpente originale scompare e al suo posto compare un serpente di perline dorate. All’inizio, quando il bambino sostituisce 7 e 6 può chiamare la nuova combinazione 10 e 3, ma in seguito, quando saprà contare, dirà tredici.

Esiste un modo per creare ancora più combinazioni. Quando tutte le barre di perline del serpente sono state contate e sostituite, vengono raccolte nella scatola. Quando vengono contate, devono corrispondere in numero alle barre di perline dorate. Se ogni volta mettiamo insieme 7 e 3, o 5 e 5, o 6 e 4 per fare 10, aiutiamo il bambino a memorizzare la combinazione. Se abbiamo sbagliato a contare dobbiamo ricominciare da capo. La ripetizione aiuterà il bambino a perfezionare l’addizione⁶⁸.

Il Gioco del Serpente è talmente affascinante che il bambino può continuare a farlo anche quando conosce molto bene le combinazioni. Attraverso questa ripetizione inizia a individuare i diversi numeri in base al colore delle perline che li compongono. Quando prende una barra di perline verdi o rosa non conta il numero di perline, ma dice quanto è in base al colore. È in grado di dire subito che 4 e 7 sono uguali a un dieci e a un uno, cioè 11, invece di contare le perline una per una. Quando il bambino salta alle decine in questo modo è arrivato al momento dell’addizione inconscia. Non è a questo punto che il bambino smette di lavorare con il Gioco del Serpente: è a questo punto che inizia a lavorarci. È come se gli fosse stata data una chiave con la quale può aprire la porta di queste somme e diventare padrone dei suoi elementi.

A volte due o tre bambini fanno somme che arrivano a 2.000. Alla fine, il risultato viene contato con il sistema decimale. Ogni volta che ottengono un centinaio, mettono un quadrato; se ottengono un migliaio, mettono un cubo. Vedono il risultato finale della somma in cubi, quadrati, decine e unità. Quando il bambino conta linearmente una somma così grande non solo dobbiamo apprezzare la sua pazienza, ma anche l’enorme lunghezza dell’addizione sulla carta.

In questo primo passo verso la memorizzazione entra in gioco anche la moltiplicazione. Alla fine del Gioco del Serpente il bambino di solito cerca di unire le barre per formare le decine, che accoppia con le barre dorate da dieci. Questo lo aiuta a capire se il risultato a cui è arrivato è corretto o meno. Nella seconda fase, il bambino non fa più le combinazioni di decine con le barre di perline, ma separa le barre in base ai diversi colori, per vedere quante decine produce ogni gruppo. Per esempio, vede che cinque barrette di 7 fanno tre decine e un cinque, quindi mette insieme tre decine e una barra di cinque⁶⁹.
In questo modo il bambino impara a conoscere la mnemotecnica dei numeri e acquisisce una conoscenza inconscia di queste combinazioni – per esempio, 5 × 7 = (3 × 10) + (1 × 5) = 35.

Anche tutte le combinazioni delle sottrazioni devono essere legate a un meccanismo di questo tipo, quindi abbiamo quello che chiamiamo Gioco del Serpente Negativo, che aiuterà il bambino a imparare le combinazioni delle sottrazioni. In questo gioco utilizziamo barre di perline di qualsiasi colore in cui le perline non sono tonde ma piatte⁷⁰ in modo da poterle distinguere facilmente. Le barre vanno da uno a nove. Diciamo al bambino che deve togliere quando vede la barra di perline negativa. Si inizia con barre di perline colorate che arrivano a 30 o 35 prima di introdurre una barra di perline negative. La procedura è la stessa di prima. Dobbiamo dire al bambino che deve cambiare ogni due barre. Anche se la combinazione che stiamo facendo è solo 3 e 2, dobbiamo cambiare senza aspettare un dieci⁷¹.

Ora, mentre si conta, il 6 e il 9 vengono messi come prima in una scatoletta, e un dieci e un cinque vengono messi sul tavolo per formare il serpente. L’idea è quella di rendere chiara la memorizzazione dei numeri, quindi riduciamo solo a dieci. Quindi, per la successiva combinazione 9 e 7, togliamo 10 e 6. Quando arriviamo alla prima parte negativa del serpente, questa deve essere tolta dalla barra immediatamente successiva. Se non ha un numero sufficiente di perline, si prende un dieci. Per esempio, se abbiamo 9 e 6, quando il bambino conta a ritroso non può sottrarre 9 da 6, quindi prende in prestito dalla barra dei dieci che ha già. Questa decina viene tolta dalla scatola e il risultato della sottrazione, che è 7, viene sostituito e messo in un’altra scatola. Questo è un esercizio interessante perché il serpente negativo, a differenza di quello positivo, non cresce. Alla fine potrebbe non rimanere nulla, ma allo stesso tempo aiuta il bambino a memorizzare le combinazioni delle sottrazioni. Il risultato della somma offre al bambino il primo esercizio pratico di algebra. Per dimostrare la somma e verificare il risultato, il bambino può fare la stessa cosa che ha fatto prima: separare in gruppi le barre di perline in base al loro colore. Ciascuna delle barre negative può essere accoppiata con quelle positive. Se hanno lo stesso valore si annullano a vicenda, dimostrando così il lavoro del bambino. In questo modo, il bambino acquisisce una conoscenza inconscia delle combinazioni.

Possiamo aiutare il bambino a prendere coscienza di questa conoscenza utilizzando un altro materiale: il Tavoliere delle Asticine per l’addizione. La lavagna è divisa orizzontalmente in riquadri sopra i quali sono riportati i numeri fino a 18. Da 1 a 10 i numeri sono scritti in rosso, da 11 a 18 in blu. Dopo il 10 c’è una linea rossa che divide verticalmente la tavola. Ci sono diciotto asticine di legno, nove sono rosse e nove sono blu. La prima asticina di ogni serie è un quadrato, uguale ai quadrati del tabellone, su cui è scritta la cifra 1; la seconda è grande il doppio della prima e vi è scritta la cifra 2 a destra, e così via.

Questo tavoliere serve a rendere coscienti e a cristallizzare le conoscenze inconsce che il bambino già possiede. Diamo al bambino la somma di addizione nella tabella delle combinazioni, dove deve formare le combinazioni di 5 e 1, e così via fino a 5 e 9. Per prima cosa utilizziamo l’asticina blu di 5 e la posizioniamo sulla lavagna nello spazio sottostante i numeri scritti, in modo da coprire la prima fila di caselle della lavagna. Poi prendiamo l’1 dalle asticine rosse e lo mettiamo accanto alla quella blu e leggiamo il risultato della combinazione sopra l’asticina, sulla lavagna. Il risultato viene segnato sulla tabella. Il bambino continua allo stesso modo con tutte le combinazioni, con tutte le colonne. Il Tavoliere delle Asticine per l’addizione indica al bambino quante unità del rosso sono state utilizzate per completare la decina e quante ne rimangono. Ad esempio, il 5 unito all’8 fa 13, e rimane 3; quindi anche 10 e 3. Per questo motivo la lavagna è divisa in numeri blu e rossi con una linea rossa che li separa.

Poi c’è un altro esercizio. Il bambino può prendere ogni numero in successione e vedere quante combinazioni di questo numero si possono formare. Per esempio, 9, il più lungo di tutti, è uguale a 8 e 1. Questa è una combinazione. 7 e 2, 6 e 3, 5 e 4, 4 e 5, sono tutti uguali a 9. Le asticine blu prese per prime nelle combinazioni diventeranno sempre più corte man mano che il bambino passa da una combinazione all’altra, mentre quelle rosse diventeranno più lunghe.

C’è una tabella di confronto⁷² per verificare se le combinazioni fatte sono corrette. Dopo aver fatto le somme, il bambino scrive i risultati in un colore diverso dai numeri delle somme delle combinazioni. Questa tabella indica le combinazioni necessarie. Il bambino memorizza tutte queste somme e noi gli mostriamo che certe combinazioni sono solo la ripetizione di una o dell’altra. Quindi, nella tabella successiva eliminiamo tutte quelle che si ripetono. Nella tabella, nella prima colonna, ci sono tutte le combinazioni fino a 1 e 9. Nella seconda colonna, le combinazioni che abbiamo incluso nella prima vengono eliminate, e così via.

La tabella delle addizioni presenta tutti i risultati senza l’indicazione della somma. Lungo la parte superiore e a sinistra si trovano i numeri che devono essere sommati e il risultato si trova dove le linee tracciate dai due numeri si incontrano. Per esempio, se vogliamo sommare 4 e 5, prendiamo la colonna dove è scritto 4 e scendiamo verso il basso e il risultato si trova dove si incontra la colonna da 5 in orizzontale. Diamo al bambino un cesto in cui ci sono pezzi di carta con le somme scritte sopra. Ci sono tutte le combinazioni possibili. Il bambino prende una somma, guarda la tabella e scrive il risultato. Facendo tutte le somme, tutte le combinazioni si fissano nella sua mente.

C’è un’altra tabella in cui sono presenti solo le combinazioni necessarie al bambino. La metà dei numeri che si ripetono e che hanno lo stesso risultato vengono tralasciati. Se vogliamo sommare 2 e 9, partiamo da 2 e scendiamo a 9, e otteniamo il risultato.

Un’altra tabella presenta solo le combinazioni assolutamente necessarie per eseguire la somma. In questo caso, se vogliamo sommare 9 e 1, saltiamo dai due numeri estremi e il risultato si trova dove si incontrano. Algebricamente è facile da esprimere. Il bambino è così interessato a questa operazione che la ripete molto spesso e queste combinazioni si imprimono ulteriormente nella sua mente.

Abbiamo anche il Tavoliere per la Sottrazione⁷³. È la stessa tavola dell’addizione, ma la riga è dopo il 9 e non dopo il 10. I numeri vanno da 1 a 18 e le caselle sono come quelle dell’addizione. Dobbiamo trovare i numeri che, sottratti da uno qualsiasi di questi, darebbero un risultato inferiore a 10, essendo il 9 il risultato più grande. Dobbiamo dire al bambino che su questa tavola non è possibile ottenere un risultato maggiore di 9 o minore di zero. Abbiamo delle asticine di legno vuote dello stesso colore della lavagna. Copriamo tutti gli altri numeri sulla lavagna, per esempio fino a 13, e da 13 mettiamo 9 strisce, 13 - 9 fa 4, 13 - 8 fa 5 e così via. Possiamo vedere il risultato della sottrazione nel numero sulla lavagna, proprio nel punto in cui l’asticina finisce. Ogni numero viene preso in successione e tutte le combinazioni sono ottenute progressivamente utilizzando le asticine.

Possiamo dire al bambino di trovare i numeri che, sottratti, danno un risultato inferiore a dieci. Ecco perché dopo il numero 9 c’è una linea blu. Ognuna delle sottrazioni deve avere un risultato positivo inferiore a 10. Quindi, da 18 possiamo togliere meno di 9 affinché il risultato sia inferiore a 10.

C’è anche una tabella per le sottrazioni⁷⁴. Se per esempio vogliamo sottrarre 3 da 8, il risultato è 5, che si può trovare sulla tabella.

In questi giochi il meccanismo intellettuale della ripetizione dell’esercizio non è un meccanismo di apprendimento, ma di maturazione. Il bambino continua anche dopo aver imparato le combinazioni a memoria. Lo scopo degli esercizi non è imparare le combinazioni, ma aiutare l’organizzazione interna della sua mente.

Dobbiamo sempre ricordare che il segreto dello sviluppo è mantenere vivo l’interesse. L’unico modo per ottenere una conoscenza approfondita è mantenere vivo l’interesse per lo stesso elemento, presentandolo in forme diverse, in modo che possa essere totalmente assorbito. Quindi queste combinazioni di addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni date ogni volta in modo diverso, fanno sì che il bambino si interessi ogni volta.