Conteggio lineare

’aritmetica e l’apprendimento dei nomi dei singoli numeri (unità) è un ambito che viene lasciato al buon senso dell’insegnante. Il bambino ha sicuramente già visto la successione dei numeri attraverso il sistema decimale, ovvero che da una decina alla decina successiva abbiamo gruppi diversi. Quando i numeri sono stati letti, al bambino è stato dato il nome corretto. A volte i nomi dei numeri possono essere comunicati al bambino prima, altre volte dopo. O è il bambino a chiederli oppure è l’insegnante a dare i nomi dei numeri tra dieci e venti. Anche in questo caso ci sono tre tempi. Il primo passo è quello di offrire al bambino solo le quantità in perline. Il secondo passo consiste nel fornire solo i simboli. Il terzo passo è aiutare il bambino ad associare la quantità al suo simbolo.

La difficoltà maggiore per il bambino è sempre con i numeri piccoli, non con quelli più grandi. Le differenze visive sono già state notate. Per quanto riguarda il conteggio, ha solo difficoltà a ricordare i nomi dei numeri. I primi venti numeri rappresentano la difficoltà maggiore per il bambino; dopo i venti incontra solo un nome nuovo ogni dieci⁵⁷. Anche questi sono in qualche modo simili. In trenta, quaranta, cinquanta, ecc. deve solo aggiungere tre, quattro, cinque e così via. Quindi, per il bambino che ha già imparato da uno a dieci, la vera difficoltà è l’apprendimento dei nomi da dieci a venti.

Dal punto di vista psicologico dobbiamo presentare al bambino questi nuovi nomi tra dieci e venti in modo così chiaro che ognuno di essi sia individuato. Dobbiamo anche mostrare chiaramente che ognuno di essi è una combinazione di dieci con uno dei primi nove numeri. Prima si presenta la quantità senza il simbolo, poi il simbolo senza la quantità e infine tutti e due insieme.

Possiamo mostrare al bambino le quantità comprese tra 10 e 20 utilizzando una barra di dieci perline dorate e una sola perlina. La chiamiamo undici. Questa combinazione è molto visibile. Continuiamo a mettere le perline una sotto l’altra fino ad aggiungerne nove, dando contemporaneamente i nomi fino a diciannove⁵⁸. Il bambino conosce già i nomi, ma non l’ordine. Per fare questo si possono usare anche barrette di perline colorate in cui ogni numero da 1 a 9 è individuato da un colore speciale. Il numero 1 è di colore rosso, il 2 è verde, il 3 è rosa, il 4 è giallo, il 5 è azzurro, il 6 è marrone cioccolato, il 7 è bianco, l’8 è grigio, il 9 è blu scuro⁵⁹.

Poi gli proponiamo la lezione in tre tempi, chiedendogli di formare uno dei numeri compresi tra 10 e 20. Potremmo anche formare una qualsiasi quantità compresa tra 10 e 20 e chiedere al bambino di dire di che numero si tratta.

Come passo successivo presentiamo una tavola⁶⁰ su cui sono stampati cinque 10 uno sotto l’altro, e un’altra su cui ci sono altri quattro 10. Tra l’uno e lo zero di ogni dieci c’è un pezzo di legno che impedisce a una carta di scivolare da una parte all’altra. I simboli sulla lavagna sono stampati in nero. Poiché il bambino conosce già la formazione dei numeri, dobbiamo solo mostrargli le diverse quantità isolate. Così come abbiamo fatto riconoscere la quantità con le perline – per esempio il dieci con una perlina aggiunta – anche qui ci sono schede unitarie separate. Possiamo arrivare fino a 19. A 20 c’è un cambio di nome. Questo è il secondo passo.

Il terzo passo è la combinazione dei simboli e delle quantità. Mettiamo una barra di dieci e una singola perlina a fianco e cambiamo il simbolo sulla lavagna da 10 a 11 facendo scorrere la carta dell’unità.

Esiste un altro strumento⁶¹ in cui troviamo i quadrati dei numeri. Come il quadrato di dieci, ci sono quadrati formati da barre di 2, 3, 4, 5, 6 e così via fino a 9. Ognuno di essi forma un quadrato del numero rappresentato dalla barra. Abbiamo anche un quadrato dei numeri sotto forma di catena. C’è una catena di 10 decine che forma anche il quadrato di dieci, cento perline. Questa catena offre al bambino un’idea della quantità lineare di cento. Quando vede cento perline in un quadrato può non contare tutte le unità, ma quando allunga il centinaio in una lunga catena di perline ha un’idea più precisa di cosa sia il centinaio. L’unica differenza tra cento e mille sembra essere l’aggiunta dello zero, ma quando guardiamo le catene di cento e mille, vediamo che differenza fa lo zero. Le catene di cento e mille offrono al bambino un chiaro confronto tra le quantità in termini di lunghezza.

Il materiale utilizzato per il conteggio non è più quello delle perline usato in precedenza per introdurre il sistema decimale. Ora comprende l’estensione delle catene perché aumentano di dieci in dieci. Le decine, le centinaia e le migliaia sono segnali che il bambino supera nel percorso del conteggio lineare. Non si tratta di un semplice meccanismo di individuazione delle quantità, ma di un metodo per offrire il segreto del valore. Abbiamo mostrato al bambino che solo nove di un gruppo possono essere sciolti e che quando diventano dieci formano una nuova unità. Allo stesso modo, qui vediamo che per passare da 10 a 20 dobbiamo passare prima da uno a nove, e poi a 20.

Quando arriviamo a 20 abbiamo materiale simile, due tabelloni su cui sono rappresentati i numeri da 10 a 90, e ancora una volta iniziamo ad aggiungere da uno fino a quando tutti i nove sono esauriti, e otteniamo tre decine: 30. Così si va avanti fino a 90, cambiando ogni volta i simboli sul tabellone.

Il conteggio lineare è chiamato passaggio, perché aiuta il bambino a passare da una tappa all’altra. Quando questa idea è chiara, il bambino diventa pazzo per il conteggio. La catena del migliaio diventa molto interessante e il bambino conta le perline una per una. Gli piace segnare le pietre miliari da dieci a dieci. Ha una serie di cartoncini blu63 su cui sono scritte le decine in ordine 10, 20, 30 e così via fino a 90. Lungo la catena del migliaio, ogni volta che incontra un dieci, mette il cartoncino appropriato accanto. Quando arriva a 100 ci sono carte più grandi in un altro colore, rosso. Sono in ordine 100, 200 e così via. Così il bambino continua a contare tutto il migliaio.

Spesso è tragico per il bambino abbandonare questo lavoro e dover ricominciare da capo. A volte è stato osservato che quando, per una qualche interruzione, il bambino deve fermarsi a metà del suo conteggio, si interessa così tanto a questo lavoro da mettere una corda o un segno in quel punto, in modo che quando arriva il giorno dopo possa ricominciare dal punto in cui aveva lasciato. Sembra incredibile, ma accade davvero. Il bambino ha lavorato contando mentalmente da dieci a dieci per tutto il percorso, ed è arrivato a un punto preciso. Questo per lui è qualcosa di molto importante!

Il conteggio lineare non segue gerarchie; è un percorso che offriamo al bambino per continuare a contare. Usiamo un rosario quando diciamo le nostre preghiere, cioè una guida da seguire mentalmente. Se è necessario per l’adulto, lo è ancora di più per il bambino. Quando il bambino ha imparato questa tecnica di conteggio, ha un periodo di raggruppamento. Conta a due o a tre. Utilizza questo procedimento e gradualmente inizia a contare per venti e per trenta con la stessa facilità.

Per questo abbiamo uno strumento speciale, dello stesso colore delle barre di perline. Qui non c’è più la gerarchia del sistema decimale nella forma. Le catene del migliaio e del centinaio sono fatte di perline dorate. Quando il bambino conta per 4, avrà un cartoncino su cui è scritto 4. Può contare per 4 o per 8 o per qualsiasi numero voglia e segnarlo sulla catena. Quando conta per 2, 3 o 4, il colore delle tessere varia di conseguenza.

Il bambino che già conosce le differenze geometriche può ora fare uno studio comparativo di queste differenze tra i quadrati e i cubi dei numeri. Quando la catena viene allungata si può vedere l’enormità comparativa della crescita tra un passo e l’altro – per esempio il cubo di 9 e il cubo di 8. La differenza tra le quantità originali è solo una, ma la differenza nei cubi è grande. In questo modo, oltre al conteggio a salti, il bambino è in grado di studiare sensorialmente alcune delle differenze tra il quadrato e il cubo dei numeri e di ciò che rappresentano in termini di quantità. È interessato a scoprire come la seconda potenza sia chiamata quadrato e la terza potenza cubo. Potremmo dire che il conteggio lineare e il conteggio a salti aiutano il bambino ad acquisire meglio i concetti matematici astratti che lo aiuteranno quando inizierà a scrivere successivamente.