Operazioni nel sistema decimale

l sistema decimale, nella sua funzione statica⁴⁴, permette al bambino di vedere le diverse gerarchie delle varie categorie. Vede che le unità hanno gruppi diversi: da 1 a 9, da 10 a 90, da 100 a 900 e così via. Nella prima gerarchia, un gruppo di unità forma dieci. Nella successiva, un gruppo di decine forma il centinaio e così via. Ad esempio, se prendiamo il numero⁴⁵ 1.673, esso è una combinazione di tutte queste diverse gerarchie e vengono utilizzati alcuni simboli che occupano un posto speciale a seconda delle diverse gerarchie. Il posto all’estrema sinistra è quello della categoria che ha maggiore importanza. Il bambino vede anche che in ogni gerarchia ce ne possono essere solo nove e non più di nove. Attraverso quest’attività compone anche i numeri.

Quando il bambino ha capito le quantità e i simboli inizia a voler conoscere i nomi dei numeri. A volte questo desiderio arriva molto tardi. Non importa, perché si tratta di un piccolo dettaglio che può essere fornito in seguito. Che il bambino faccia addizioni e sottrazioni senza conoscere i nomi dei numeri o che gli vengano dati prima i nomi, è lasciato al nostro buon senso e all’interesse del bambino.

L’intelligenza è come una casa all’interno della quale ci sono quattro appartamenti, ognuno dei quali è occupato da una certa entità. Ogni appartamento ha una porta che si apre su uno spazio aperto all’interno. Possiamo chiamare le entità Comprensione, Ragione, Memoria e Interesse. Ognuna di esse ha un compito speciale nella casa e lavorano insieme in armonia per costruire l’intelligenza. Di solito uno stimolo bussa alla porta della Memoria. Poi passa alla Comprensione. Se la Comprensione accetta lo stimolo, esso va ad eccitare l’Interesse e lo scuote. L’Interesse va con la Comprensione a chiamare la Ragione. Così, lavorando insieme, costruiscono l’Intelligenza. La Memoria è quella che risponde sempre a chi bussa alla porta e recepisce ciò che viene presentato dallo stimolo. Se viene disturbata lo ignora e chiude la porta. A volte, quando gli altri vedono le difficoltà della Memoria, anche loro chiudono la porta.

L’educazione nei tempi antichi era solo una questione di memoria, non di comprensione, né di ragionamento e neppure di interesse. Pertanto, la memoria sottraeva sempre energia all’intelligenza e invece di costruirla sottraeva al suo capitale per andare avanti. Se vogliamo aiutare la costruzione dell’intelligenza dobbiamo chiamare tutti e quattro a lavorare insieme. Non dobbiamo lasciare il compito di costruire solo alla memoria, che è come un servo che non può fare altro che lavori manuali. Il resto del lavoro deve essere condiviso dagli altri tre: l’interesse, che stimola l’intelligenza e la mantiene viva, e la comprensione che richiama la ragione. Se a fare tutto il lavoro è solo la memoria si costruisce solo un’intelligenza meccanica. Un’intelligenza di questo tipo sarebbe come una persona vestita con abiti regali che cerca di far credere agli altri di essere un re mentre in verità non lo è.

La mela che Newton vide cadere non fu la prima a cadere. Molte persone hanno visto cadere una mela e possono averne un ricordo nel subconscio. Tuttavia, la comprensione arriva solo quando la caduta viene spiegata. Che interesse avrebbero le persone per le leggi della gravitazione se non avessero visto cadere nulla? È la loro esperienza a rendere interessante la scoperta di Newton.

Con le Aste Numeriche il bambino è già inconsciamente consapevole dei processi di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Tuttavia ne è consapevole con la vista. Lo stimolo sensoriale ha raggiunto solo la sua memoria, non la sua intelligenza. Ora vedrà questi processi in modo cosciente, se gli verranno spiegati.

La comprensione sensoriale contribuisce a creare un interesse per il lavoro. Senza di essa abbiamo solo una vaga impressione nella nostra memoria. Senza un’esperienza precedente o una preparazione inconscia il lavoro non suscita alcun interesse. È importante che il bambino acquisisca esperienza, perché serve a stimolare l’intelligenza.

In Olanda l’acqua viene fuori se si gratta un po’ il suolo. Così, il subconscio che è al limite della coscienza, se grattato, risveglia l’intelligenza. È necessario dare al bambino la funzione numerica prima di chiedere alla memoria di imparare le combinazioni delle diverse quantità, di imparare che il 3 combinato con il 5 fa 8. Prima di tutto la visione dell’insieme deve essere anteposta all’intelligenza, poi possono entrare in gioco la ragione, l’interesse e infine la memoria.

Il bambino ha già compreso la funzione dei numeri e sa come si formano. Ora dobbiamo aiutarlo a mettere in relazione il posto delle quantità con la loro funzione. Per farlo abbiamo a disposizione una quantità illimitata⁴⁶ di questo materiale. Le quantità possono essere trattate in quattro modi: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le quantità sono fornite in modo tale da poter eseguire qualsiasi operazione. Per questo motivo abbiamo le schede grandi fino a novemila e quelle piccole solo fino a tremila. Ormai il bambino ha acquisito una tale visione di questi numeri, per cui possiamo portarli alla loro prima astrazione, sostituendo le perline del quadrato del cento e del cubo del mille con quadrati e cubi di legno sui cui lati sono incollati quadrati di carta punteggiata con i puntini a rappresentare le perline. Se contiamo i puntini troveremo 100 puntini sul quadrato del cento e 100 puntini su ogni faccia del mille⁴⁷. Questo primo passo verso l’astrazione in campo matematico deve avvenire molto lentamente. Le carte vengono disposte una sotto l’altra sul pavimento e una accanto all’altra secondo la loro gerarchia. Le unità, le decine e le centinaia si corrispondono in ordine; per esempio, 9.000, 900, 90 e 9 formeranno una linea orizzontale.

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Anche per questo esercizio di addizione dobbiamo ottenere il consenso del bambino. Dopo che il bambino ha formato una grande quantità, possiamo chiedere: “Vuoi fare l’addizione? Se sì, devi chiedere aiuto a un’altra persona!” In questo modo, suscitiamo l’interesse del bambino ancora prima che il gioco abbia inizio. Si tratta di una preparazione psicologica della mente a ricevere la conoscenza. Se si prende il bambino per il braccio e gli si fa fare l’addizione, la sua mente potrebbe essere occupata da qualcos’altro e il processo di addizione non verrebbe assorbito dal bambino. Sarebbe quindi assolutamente inutile sprecare il nostro tempo e quello del bambino in questo lavoro intellettuale.

Di solito proponiamo questi esercizi ai bambini tra i quattro e i quattro anni e mezzo come esercizio collettivo che due o più bambini possono fare insieme. Quando iniziamo l’addizione vengono preparati due numeri, uno per ogni bambino. Ogni bambino sceglie la sua quantità dal materiale di perline e i simboli corrispondenti da ogni serie di cartoncini. Non può dire i loro nomi perché non li ha ancora imparati. Verifichiamo le quantità per vedere se i bambini hanno prestato attenzione e anche per assicurarci che l’addizione sia corretta. Per quanto riguarda l’addizione non abbiamo più nulla da fare. Tutti i cubi, i quadrati, le decine e le unità delle due quantità vengono messi insieme in modo confuso su un vassoio. Ora dobbiamo ricorrere al sistema decimale per ottenere la risposta dell’addizione.

La prima cosa che il sistema decimale fa è distinguere le alte gerarchie. Mettiamo insieme tutte le centinaia, tutte le decine e tutte le unità. Usiamo un certo tipo di feltro o un tappeto⁴⁸ in modo che le perline delle unità non rotolino via. Quando l’addizione è completata, il numero ottenuto viene mostrato con le carte grandi. I bambini che contano devono solo sapere come contare da uno a dieci e distinguere le diverse gerarchie e niente di più. Questo chiarisce la natura dell’addizione con il sistema decimale.

Nella prima somma di addizione, mentre formiamo le quantità più piccole ci assicuriamo che non ci siano riporti. L’attività fa ancora parte del sistema decimale statico. Successivamente si passa alla fase in cui l’addizione deve essere fatta con il riporto. Dopo che il bambino ha fatto un po’ di addizioni di questo primo tipo, si passa all’altro tipo.

La dimensione delle carte è significativa. Ci sono tre serie di carte più piccole che rappresentano tre diverse piccole quantità che hanno formato la quantità più grande rappresentata dalle carte più grandi, che è la risposta all’addizione. La dimensione della carta aiuta a fissare l’idea sensoriale, a imprimere questo fatto nella mente del bambino. In seguito, questo aiuterà il bambino a comprendere meglio le regole.

Nelle scuole tradizionali il bambino inizia con le regole. Nelle nostre scuole, una regola è l’ultimo passo compiuto dal bambino, paragonabile a mettere un puntino sulla i. Per noi le regole sono la descrizione più concisa di una lunga esperienza, e quindi il passo finale del sistema. Così, non solo la definizione acquista un significato, ma ha anche un interesse in sé. I bambini sono quasi in competizione tra loro per cercare di esprimere a parole ciò che è accaduto nella somma di addizione.

Illustriamo al bambino anche un’altra parte del sistema decimale. Diciamo al bambino che in ogni categoria solo nove possono stare separati. Così, nove perline singole (le unità), le barre di dieci, nove quadrati di cento, possono stare separati. Tuttavia, non appena ne arriva un’altra, le dieci della gerarchia inferiore si legano tutte insieme e passano alla categoria superiore. Se ci sono nove barre di dieci e si aggiunge una decima barra, tutte le dieci barre scompaiono e appare un quadrato di cento. Le decine sono sostituite dalle centinaia. Dopo questo⁴⁹ possiamo dare al bambino qualsiasi tipo di somma di addizione e funziona bene.

I diversi bambini hanno contribuito con importi diversi e questi importi sono stati messi insieme. Il sistema decimale li ha messi in ordine e attraverso questo ordine abbiamo ottenuto l’importo totale che tutti loro avevano portato. Siamo partiti da niente e abbiamo ottenuto qualcosa. La sottrazione è la separazione di una quantità originale in due o più quantità diverse. Un bambino prende un numero grande (1.757) dalle carte grandi e mette a fianco la quantità corrispondente. Dobbiamo far capire a un altro bambino che dalla quantità grande possiamo togliere solo ciò che rientra nel limite della quantità con cui siamo partiti. Il secondo bambino sceglie un numero più piccolo (858) dalla serie di carte più piccole, lo mette sul suo vassoio e si avvicina al primo bambino per chiedere la quantità di perline corrispondente. Per il bambino sarà più̀ facile partire da destra, da una quantità fissa. Quando vuole 8 unità e il primo bambino ne ha solo 7 deve ricorrere al sistema decimale e suddividere la barra di dieci in dieci perline sciolte, di cui 8 vengono regalate. Gli rimangono 9 perline. Poi il secondo bambino vuole 5 decine, mentre il primo ne ha solo 4. Quindi spezza un centinaio in dieci barre da dieci e dà via 5 decine. Poi gli rimangono 6 centinaia e il secondo bambino ne vuole 8, quindi spezza un migliaio e gli dà il numero di centinaia richiesto. In questo modo la quantità viene divisa in due quantità diverse.

Tre bambini possono ora fare la somma delle moltiplicazioni. Ogni bambino porta lo stesso numero, ad esempio 1.125, e le quantità corrispondenti. Le quantità vengono contate come di consueto. Le carte più piccole che rappresentano i tre numeri vengono messi uno sotto l’altro e la risposta dell’accumulo 3.375 è rappresentata dalle carte più grandi accanto a quelle più piccole.

Possiamo anche dire ai bambini che tre volte 1.125 fa 3.375. In questo modo si spiega al bambino la natura della moltiplicazione. La moltiplicazione è un’addizione in cui tutti gli elementi aggiunti sono uguali. Lo studio della moltiplicazione consiste quindi nel trovare quante volte una quantità si ripete. La quantità che viene ripetuta si chiama moltiplicando, il numero di volte che viene ripetuto è il moltiplicatore e il risultato è il prodotto. Il moltiplicatore può essere un numero qualsiasi, non necessariamente tre. In questo caso scegliamo 3 perché i piccoli set di carte sono solo tre. In seguito, invece di mostrare 1.125 tre volte nelle carte più piccole, possiamo mostrarlo solo una volta e mostrare una carta da tre per rappresentare il numero di volte che deve essere aggiunto. In questo modo si dimostra chiaramente che la moltiplicazione è un tipo speciale di addizione.

Passiamo ora all’ultima operazione, la divisione. La divisione è un tipo particolare di sottrazione, così come la moltiplicazione è un tipo particolare di addizione. Presenta due forme diverse. Una è la divisione individuale e l’altra è la divisione di gruppo. Nella sottrazione, quando si toglie qualcosa dalla grande quantità rimane ancora qualcosa. In questo tipo speciale di sottrazione, dobbiamo distribuire assolutamente tutto in modo che non rimanga nulla. Anche in questo caso, come nella sottrazione, il punto di partenza è la quantità intera, più grande di quella che ciascuno riceverà. Tre bambini, ognuno con un vassoio, vengono a prendere quantità esattamente uguali. Non possono dirci la quantità che desiderano come nella sottrazione, ma deve essere dato loro tutto, ognuno la stessa quantità, non una in più o una in meno.

Nella divisione di gruppo si parte da un numero che, una volta diviso, non avrà resto. La divisione deve essere iniziata dal lato sinistro e non dal lato destro. È preferibile, perché altrimenti dobbiamo cambiare a ogni passaggio e dividere le decine, le centinaia e le migliaia così spesso che la divisione diventa molto lunga e noiosa. Partire da sinistra è facile e veloce, quindi distribuiamo le quantità equamente in questo modo, iniziando prima con le migliaia invece che con le unità. Dopo aver fatto questo esercizio alcune volte, possiamo dimostrare che queste tre quantità uguali formano la più grande.

Successivamente proponiamo ai bambini la divisione lunga. La divisione lunga è in realtà molto breve, perché più lungo è il divisore, più corta è la divisione. La divisione lunga ha come divisore un numero maggiore di nove. Prenderemo un numero, 1.332, e lo divideremo per 12. Vengono scelte dodici persone, ma dieci delle dodici scelgono un capitano che rappresenta tutti i dieci, compreso lui stesso. Il capitano accetta la sua parte non solo per sé, ma anche a nome degli altri nove che lo hanno scelto come tale. Al capitano, che prende per tutti i dieci, viene dato un nastro blu per distinguerlo dagli altri due che prendono solo per sé. Gli altri due ricevono un nastro verde. I bambini sanno già che cento contiene dieci decine e mille contiene dieci centinaia e così via. Quindi, se diamo mille al capitano, diamo cento a testa agli altri due. E quindi distribuiamo le quantità in questa proporzione. Il capitano riceve 1.110 e gli altri due 111 ciascuno. Il capitano deve poi distribuire ciò che ha a nove dei suoi colleghi e a sé stesso. Ognuno dei dieci riceve 111, la risposta della divisione è ciò che ciascuno riceve. Quindi, l’importo viene diviso in 12 parti uguali, ognuna delle quali riceve 111.

Se i bambini lo hanno capito, possiamo introdurre un centinaio nel divisore. Prendiamo 6.273 e dividiamolo per 123. Qui una persona che rappresenta il centinaio ha un nastro rosso, due persone che rappresentano le decine hanno ciascuna un nastro blu e le tre persone che rappresentano le unità hanno un nastro verde. Le centinaia ricevono dieci volte di più e le unità dieci volte di meno di quanto ricevono le decine.