Il concetto di numerazione: 1-10

eguendo lo sviluppo del bambino ci imbattiamo in un altro campo del mondo dell’astrazione pura. Come l’alfabeto, questa invenzione dell’uomo non si trova in natura, ma è stata pensata e concordata. I numeri sono simboli convenzionali utilizzati da un gruppo di uomini per indicare quantità, in cui i simboli hanno determinati nomi. Non hanno valore di per sé. Che cosa dà valore ai simboli e ai loro nomi? Un fiore può avere una forma, un colore e un profumo, ma un numero ha un valore solo perché un gruppo di uomini ha deciso di fissare quel valore a un simbolo speciale. Se io attribuisco al simbolo 1 il valore di cento e tu gli attribuisci il valore di uno, non ci capiremo. I numeri, come l’alfabeto, sono stati un mezzo di scambio di idee tra gli uomini, un mezzo per capirsi.

Crediamo che arrivare a questa comprensione presenti una grande difficoltà per il bambino. Non è così. Dobbiamo ricordare che il bambino è l’inizio dell’uomo. È una creazione di Dio e ha dentro di sé tutte le leggi umane, tutte le caratteristiche umane. Ha il potenziale, quindi le facoltà possono essere facilmente acquisite. Ogni bambino umano quando nasce, se vive, diventerà un essere umano adulto. Questo sembra logico. Pertanto, è altrettanto logico che il bambino abbia in sé tutti gli attributi umani dell’adulto. Non esiste un adulto che non abbia il potere di fare astrazione. Senza il potere di astrazione sarebbe solo un animale. È questo potere che gli conferisce la superiorità di cui gode, e non arriva all’essere umano all’improvviso, quando ha raggiunto i venti o venticinque anni, quando è diventato maggiorenne, ma è dentro il bambino quando nasce. Seguendo il bambino abbiamo visto che uno di sei mesi è in grado di fare astrazioni. Perché allora un bambino dovrebbe avere difficoltà a fare astrazioni? Potremmo anche dire allora che il bambino ha difficoltà a crescere fisicamente!

Nel Medioevo, nel nostro paese c’erano dei giullari che apparivano buffi alla gente, sia per i loro modi di fare che per il loro aspetto. Per farli apparire buffi, da bambini questi giullari venivano ingessati in modo da non permettere al loro corpo di crescere dritto. I loro corpi erano storti e la crescita era frenata e dolorosa. Ciò che l’educazione ha fatto è creare condizioni simili alle ingessature usate nel Medioevo per modellare i corpi degli esseri umani modellando la mentalità di quelli che entrano a scuola. Senza questi vincoli la crescita non è dolorosa, ma piacevole e obbediente alle leggi di Dio. Quando non andiamo contro le leggi di Dio ma le seguiamo, troviamo gioia, pace, calma e riposo.

Per entrare nella società il bambino deve acquisire determinate qualità. Vogliamo plasmarlo a questo scopo. Se si ribella, lo costringiamo. Il motivo per cui discutiamo è che un giorno dovrà andare nel mondo. Dove si trova il bambino se non nel mondo? È nel sole o nella luna? In effetti è nel mondo e deve acquisire la responsabilità di essere nel mondo. Che cosa comporta questa responsabilità? Significa forse che il bambino dovrà guadagnare una certa quantità di denaro, difficile da ottenere?

La responsabilità principale del bambino è quella di creare un uomo, e lo creerà che noi lo vogliamo o meno. Può creare un uomo buono o un uomo cattivo, che deve crescere o morire.

In questo mondo di astrazione, per il bambino crescere intellettualmente è naturale come crescere fisicamente. Troverà altrettanta gioia nell’acquisire una crescita mentale che in un sano sviluppo in campo fisico. Tuttavia dobbiamo offrirgli l’opportunità di crescere normalmente. Non possiamo stabilire un programma per la sua crescita mentale basato sulle nostre esigenze politiche o sulle nostre idee educative. Se lo facciamo, lo ingessiamo in modo doloroso. Giudichiamo i bambini dal nostro punto di vista di adulti, dal livello di pensiero e di ragionamento che abbiamo raggiunto. Su questo basiamo il nostro giudizio su ciò che il bambino dovrebbe fare.

Non c’è niente di più facile che fare le cose che sappiamo fare. Sembra così semplice. Eppure, se sapessi nuotare e spiegassi molto attentamente a una persona intelligente che non sa nuotare come dovrebbe farlo, con tutta la sua intelligenza, affonderebbe se ci provasse!

Passare dal nulla a qualcosa è la creazione. Creare è la cosa più difficile del mondo. Crescere dopo è facile. Il primo passo, l’inizio, che porta dal nulla a qualcosa, è il più difficile. Nel mondo astratto la crescita dalla materializzazione all’astrazione è un nuovo difficile cammino verso nuovi campi, nuove astrazioni. Il progresso del bambino è molto, molto graduale fino a quando non ha acquisito un certo livello. Una volta raggiunto questo livello tutto diventa molto facile.

Nel campo del linguaggio non dobbiamo insegnare al bambino parole che già conosce come se fossero nuove. Ha parlato la lingua e ne ha usato le parole per anni. Nel campo della matematica, invece, il bambino non sa nulla. Può aver distinto un gruppo di parole che si riferiscono alla quantità, ma non ha alcuna esperienza precedente con i numeri. Non conosce il sistema che li organizza, deve capire la loro intera costruzione contando da zero a dieci. L’introduzione ai numeri non può essere trattata come l’introduzione e l’analisi del linguaggio. Ogni passo compiuto deve essere fatto con una cura che non è richiesta in altri campi, perché questo è del tutto sconosciuto.

Il seme della matematica deve quindi essere seminato con molta, molta attenzione. Non dobbiamo confondere il tronco dell’albero con i rami. Non dobbiamo certo aspettarci che su un albero morto crescano rami buoni. Molti riducono la matematica a certe prodezze della memoria. Se facciamo imparare al bambino che tre più tre fa sei o che due volte quattro fa otto, stiamo costruendo un albero inchiodando piccoli pezzi di legno morto a un pezzo di legno morto più grande in modo che assomigli al tronco di un albero con i rami attaccati. Così facendo abbiamo creato solo un’illusione. Non è un albero, ma solo una croce. Non porterà alcun frutto e non darà vita né gioia, ma solo sofferenza. Se invece piantiamo il seme con cura possiamo osservare con piacere la piccola pianta mettere radici solide, spuntare foglie e crescere rami forti.

Dunque dobbiamo osservare l’intelligenza. Una volta che ha afferrato i fatti, una volta che è matura e può essere portata al livello astratto della mente, possiamo aggiungere qualcosa di più. Quando il bambino lavora con il materiale afferra fatti astratti attraverso la ripetizione degli esercizi. Allora è pronto per il passo successivo. Possiamo passare gradualmente da fatti materiali ad altre astrazioni ancora più elevate attraverso semplici passi. Nelle scuole tradizionali l’insegnante comincia dal livello più elementare. Scrive i numeri alla lavagna e dice i nomi. Si aspetta che il bambino capisca. Se il bambino non capisce, l’insegnante usa alcuni oggetti per aiutarlo. Mostra un oggetto, magari un seme, e dice: “Uno!” Aggiunge un altro oggetto e dice: “Due!” Ne aggiunge un altro e dice: “Tre!” Toglie un oggetto e dice: “Due!” È molto semplice e molto logico, ma molto confuso per il bambino. Un bambino ipodotato che non è in grado di registrare le esperienze o di ricevere le impressioni come noi e che non è arrivato alle astrazioni numeriche non capirebbe come il primo seme chiamato uno diventi due con l’aggiunta di un altro seme. Il nome seme diventa apparentemente uno. Questo cambiamento di nome dell’oggetto stesso genera confusione. Il numero due è per lui uno e un altro uno. Il bambino che è ancora nel periodo di costruzione della mente in cui tutto è in ordine, che etichetta tutto ciò che lo circonda, si confonde e non può arrivare a questa astrazione né può arrivare alla conclusione che un oggetto a cui si aggiunge un oggetto diventa un altro. Così, di fronte al secondo oggetto, dice: “Uno, uno!” Non dice: “Uno, due!”

Il bambino deve avere una grande maturità mentale per arrivare a questo. Per uno che sa nuotare, l’atto di nuotare è molto facile e molto semplice, ma finché non ha imparato, è difficile. Arrivare all’astrazione dei numeri, creare qualcosa dal nulla, è un passo molto difficile per il bambino. Quindi se vogliamo presentare le quantità al bambino ogni quantità deve essere presentata in un unico pezzo e ogni numero deve essere trattato come un oggetto separato, non come un oggetto aggiunto a un altro. Gli oggetti che di solito vengono presentati sono tutti dello stesso valore. Invece oggetti diversi devono avere valori diversi. Dobbiamo prendere oggetti che non possono essere scomposti in unità più piccole, in modo da poter dimostrare che c’è una differenza di valore tra i primi due numeri, che sono allo stesso tempo oggetti distinti, e a quel punto possiamo dare un nome a ciascun oggetto.

Per presentare i numeri utilizziamo le Scale Lunghe degli esercizi sensoriali, così che il bambino sia già pronto a utilizzare il materiale. Le lunghezze sono visualizzate in modo che la prima asta serva da unità di misura. Le differenze relative di quantità sono già state impresse nel bagaglio sensoriale del bambino, che è quindi in grado di valutare la differenza di quantità. La prima asta è uno, la seconda, che è un oggetto diverso, è due. È separata da uno, ma ha il valore di due. Il primo oggetto non scompare nel secondo. Ogni asta è una quantità intera in sé. Il bambino vede la sequenza e come si forma. Vede che il nome e la quantità sono collegati. In questo modo costruisce sensorialmente la sequenza naturale dei numeri, poiché le aste, disposte in ordine di lunghezza, contengono la sequenza dei numeri.

Utilizziamo una serie di esercizi per aiutare il bambino a familiarizzare con i numeri (i nomi e le quantità). Per prima cosa presentiamo la quantità rappresentata da ogni asta attraverso la lezione in tre tempi. Poi si fa una serie di giochi. Possiamo nominare una quantità e chiedere al bambino un’asticella immediatamente superiore o immediatamente inferiore ad essa. Ogni volta dobbiamo chiedere al bambino di contare dall’inizio (da uno) in modo che gradualmente i nomi delle aste si fissino nella sua mente, così da non dover più contare. La mente del bambino matura attraverso l’osservazione e gradualmente capisce che la quantità due è uguale a due uno, un passo logico compiuto dalla mente. Si riconoscono così la chiarezza di ogni gruppo di quantità e il valore di ogni gruppo.

Nelle scuole tradizionali si inizia con i simboli, poi si danno i nomi e le quantità in unità separate. Questo comporta una grande difficoltà per il bambino. Nelle nostre scuole, in questa fase iniziale, presentiamo solo le quantità e i nomi delle quantità. Non presentiamo i simboli dei numeri. Il campo della matematica è completamente nuovo per il bambino. A differenza del linguaggio, in questo campo il piacere del bambino deriva dal superamento delle difficoltà. Se le presentiamo una per una il bambino desidera andare avanti perché gli dà il piacere di crescere mentalmente. Nel campo del linguaggio il bambino associa già la lettera di carta vetrata, il simbolo, al suono corrispondente, perciò i simboli che rappresentano la quantità – le figure di carta vetrata – vengono presentati al bambino separatamente dalla quantità. Il bambino tocca i simboli dei numeri nello stesso modo delle lettere e dice il nome della quantità corrispondente. Ci vuole un po’ di tempo perché impari i simboli, la loro forma e la direzione della scrittura. In questo caso trova lo stesso piacere dell’apprendimento delle lettere. Solo dopo che ha imparato tutti questi elementi si trova a disporre spontaneamente le quantità e i simboli in successione. A volte l’insegnante può farlo per primo, quando ritiene che il bambino sia pronto per questo passo. Quando il bambino inizia con uno è in grado di andare avanti perché possiede già la conoscenza di tutti i numeri, quindi è in grado di metterli in relazione tra loro. Quindi, presentiamo al bambino queste tre fasi: le quantità senza i simboli, i simboli senza le quantità e poi le due cose insieme.

Un punto importante che può sembrare strano è che dobbiamo sempre fare attenzione a non usare mai le figure di carta vetrata per fare l’associazione tra la quantità e il simbolo. Dobbiamo invece creare una serie separata di simboli⁴⁰. Il bambino sta costruendo la mente matematica che si basa sull’ordine in ogni cosa. Ormai ha visto che ogni gruppo ha un certo valore in relazione alla prima asta che ha preso come unità di misura. Ha anche visto che la differenza tra un gruppo di unità e l’altro è sempre la stessa. Ognuno di essi ha un certo valore in relazione alle quantità. Facendo questo confronto ottiene un’impressione sensoriale della sottrazione e dell’addizione. Comincia a capire la natura della somma dell’addizione, che è l’unione di due quantità, e anche che nella sottrazione dalla quantità grande si può togliere una quantità inferiore.

I numeri possono essere presentati al bambino tra i tre anni e mezzo e i quattro. Una volta costruite le basi, quanto va avanti velocemente il bambino! Se proponiamo queste idee secondo la sua logica, e non secondo la logica dell’adulto, il bambino impara in poche settimane il lavoro che potrebbe richiedere due o tre anni in una scuola tradizionale.

La sequenza naturale dei numeri viene presentata attraverso la lunghezza delle aste. All’inizio al bambino vengono proposti i nomi dei primi dieci numeri, i simboli che rappresentano queste quantità e le quantità corrispondenti a ciascun simbolo. Gli vengono proposti dieci numeri perché questo costituisce la base del sistema decimale. Gli inglesi dicono di non usare il sistema decimale⁴¹. Dicono che non è necessario insegnarlo ai loro figli. Non ho mai visto un inglese contare con venti o quaranta! Conta solo le decine. Non se ne accorge, ma usa il sistema decimale in tutte le cose, usando decine, centinaia e migliaia. Quando si dà questa base al bambino, egli ne avrà una per tutta la matematica.

Un altro materiale consiste in due scatole, ciascuna divisa in cinque scomparti. Sulla parete di fondo di ogni scomparto è scritto uno dei dieci simboli che il bambino ha imparato. Una scatola contiene i numeri da 0 a 4 e l’altra quelli da 5 a 9. Con questo materiale ci sono 45 fusi tutti uguali. Il bambino deve mettere in ogni scomparto il numero di fusi (le unità) corrispondenti ai simboli. Un fatto curioso è che il bambino sa già che le unità di ogni quantità sono un gruppo, tuttavia la sua astrazione non è ancora arrivata al punto di poterlo vedere quando queste unità sono sciolte. Con le aste dei numeri, le unità di ogni asta sono state combinate, mentre con i fusi deve raggruppare le unità. Il bambino in questa fase desidera fare le cose in modo corretto. Ad alcuni bambini, infatti, piace avere un nastro per legare effettivamente i fusi insieme. Anche gli scomparti non sono sufficienti per raggruppare i fusi. Il bambino pensa: “Come possono formare un gruppo se non sono uniti?” Tutte le quantità sono astrazioni. Non c’è alcun legame materiale per formare una quantità. Il bambino arriva a questo modo convenzionale di raggruppare le unità per fare questa astrazione solo molto più tardi.

Questo è il secondo passo verso l’astrazione, il secondo periodo di maturità della mente. Quanto deve essere lento per portare a una crescita mentale! Se seguiamo il naturale sviluppo psicologico del bambino vediamo che può crescere velocemente, ma solo nella misura in cui la natura glielo consente. Possiamo fare di lui un uomo in un giorno? Non è possibile! Anzi, è stupido pensare di farlo! Per raggiungere lo sviluppo naturale, nella crescita del suo corpo umano e nella crescita dell’intelligenza del suo piccolo cervello, non può saltare da una cosa all’altra. Gli occorrono venticinque anni per diventare un uomo completo!

Dopo questa seconda fase, c’è la terza⁴². Di solito viene introdotta quando il bambino è abbastanza maturo e pronto per ulteriori astrazioni. Si propone al bambino la stessa serie di numeri che vanno da 1 a 9. Il bambino li mette in successione, uno accanto all’altro. Per noi è la prova della capacità di astrazione del bambino, per vedere se ha imparato o meno la sequenza dei numeri. Nel primo caso, con le aste dei numeri, la Scala Lunga offriva una guida. Nel secondo caso i simboli dipinti sulle scatole dei fusi offrivano una guida. Questa attività, invece, non ne offre alcuna. Il bambino la cui mente ha costruito la sequenza dei numeri deve disporli in successione. Si fornisce anche una serie di piccoli oggetti insoliti, assolutamente identici nell’aspetto e nelle dimensioni (come conchiglie o pedine d’avorio). Non usiamo oggetti ordinari perché il bambino preferisce sempre oggetti che siano attraenti e piacevoli. 

La visibilità e l’attrattiva del materiale aiutano il bambino nell’esercizio dell’astrazione. Gli oggetti vengono contati e le quantità vengono poste sotto il simbolo a cui corrispondono. Gli oggetti contati, quando formano una quantità pari, sono posti sotto il simbolo corrispondente a coppie uno sotto l’altro. Quando si contano le quantità dispari, il singolo membro dell’ultima coppia viene tenuto da una parte sotto la coppia precedente, per richiamare l’attenzione sul fatto che quando si dividono i numeri dispari ci sono più pezzi da una parte che dall’altra. Il bambino inizia così a comprendere sensorialmente tutto ciò che c’è da sapere in matematica.

A questo punto il bambino ha assolutamente tutto ciò che gli serve per capire la matematica. In fondo non è possibile trovare un numero che abbia bisogno di altri simboli oltre ai dieci che gli abbiamo insegnato! Con questi dieci simboli può capire qualsiasi numero. Ha anche visto la natura dell’addizione, della sottrazione, della moltiplicazione e della divisione e ha osservato la possibilità di queste operazioni, anche se non ne conosce il nome. Quindi, preparata la base, il bambino deve analizzare e studiare i dettagli.

Così, presentando le cose in modo graduale, si dà al bambino una visione d’insieme, una comprensione dell’insieme, che poi entrerà nei dettagli. Così si formano i rami dell’albero. Noi dobbiamo solo mettere le radici, i rami nascono da soli.