Le tre figure di base

Che si parli di figure regolari o irregolari, sono sempre i triangoli a costruirle¹⁷. Quando due triangoli uguali vengono messi insieme formano un quadrato. Quando due triangoli equilateri vengono messi insieme formano una figura chiamata rombo, che ha quattro lati uguali. Due triangoli diversi messi insieme formano il rettangolo, che è simile a un quadrato. Due triangoli di famiglie diverse, se accostati, formano un trapezio. Sei triangoli equilateri accostati formano una figura regolare, un poligono a sei lati chiamato esagono. L’esercizio di costruire figure geometriche per mezzo di triangoli può essere proposto anche a un bambino molto piccolo. Utilizzando la conoscenza delle forme derivate dai triangoli, possiamo imparare qualcosa su ogni figura. Queste figure sono le chiavi che ci aprono l’universo, sono le chiavi dell’onnipotenza della mente umana.

Il cerchio è chiamato calcolatore perché calcola l’ampiezza dell’apertura degli angoli. In tre cerchi di dimensioni diverse – uno molto piccolo, uno medio e uno ancora più grande – gli angoli al centro sono uguali. Quando i cerchi vengono sovrapposti in modo che i vertici di ognuno di questi angoli si trovino sui vertici degli altri, e ogni linea di ogni angolo sulle linee corrispondenti, formano un angolo con bracci lunghi. Il cerchio può diventare più grande, ma ciò significa solo che i bracci dell’angolo si allungano; l’apertura dell’angolo rimane la stessa. Questo è un aspetto che richiede il potere di astrazione della mente dell’uomo. Potremmo ingrandire questi cerchi fino a farli diventare grandi come la terra, ma potremmo sempre misurarli per mezzo di questi piccoli angoli che sono tutti uguali, indipendentemente dalla grandezza dei cerchi!

Per mezzo del cerchio si possono misurare gli angoli dei diversi triangoli. Questo è un fatto semplice che può essere osservato da tutti, ma è comunque meraviglioso, perché possiamo misurare qualcosa di molto lontano per mezzo di un piccolo oggetto vicino a noi. Sappiamo che è possibile misurare gli angoli per mezzo di un certo strumento e questa è la chiave per misurare distanze enormi. Così, misurando l’apertura dell’angolo nello strumento, possiamo calcolare le distanze che separano due cose molto lontane da noi. Per mezzo del cerchio possiamo calcolare distanze infinite.

Quando vogliamo misurare una superficie abbiamo sempre bisogno del quadrato. Ogni volta che parliamo di una superficie diciamo che è di tanti chilometri quadrati o metri quadrati. I lati del quadrato sono uguali e tutti gli angoli sono retti. In questo modo è facile imparare tutto il resto. Per questo è un’unità di misura universale. In aritmetica il quadrato ha un posto molto particolare. Usiamo il quadrato come chiave perché ha quattro lati uguali e quattro angoli retti. Questo rende facile scoprire molte cose su di esso, per esempio, i quadrati dei numeri si chiamano così perché i quadrati sono usati come base per la misurazione. C’è anche un aiuto reciproco tra le tre figure.

Il cerchio è un maestro che stabilisce limiti molto precisi, ponendo le diverse figure in relazione tra loro.

Consideriamo le due figure: il quadrato con un cerchio inscritto in esso e un quadrato inscritto in un cerchio. Vediamo che questi due quadrati sono in una certa relazione tra loro. Questa relazione è definita dal cerchio, perché un quadrato è appena fuori da esso e i suoi punti medi lo toccano. Gli angoli dell’altro quadrato toccano la circonferenza del cerchio in quattro punti. Questo potrebbe sembrare un semplice caso senza alcuna importanza. Il quadrato più piccolo che si trova all’interno del cerchio ha un valore esattamente pari alla metà di quello esterno al cerchio. I quadrati sono in relazione esatta con il cerchio: i lati del quadrato esterno sono le tangenti del cerchio e gli angoli del quadrato interno toccano la circonferenza del cerchio.

Le figure geometriche piane regolari si prestano quindi a molte combinazioni che sembrano essere un semplice cambiamento di posizione tra le figure: un cerchio che circoscrive un triangolo, una serie di cerchi e quadrati inscritti l’uno nell’altro, ogni quadrato la metà di quello più grande. Il terzo quadrato, essendo il terzo, è la metà della metà, quindi un quarto. Queste interessanti relazioni rendono lo studio delle figure geometriche affascinante. Studiando figure che possiamo vedere e maneggiare iniziamo a scoprire i segreti della geometria.